专题3-2解三角形最值范围与图形归类（讲练）-2023年高考数学二轮复习（原卷版）

专题32解三角形最值、范围与图形归类目录TOC\o"11"\h\u讲高考 1题型全归纳 2【题型一】最值与范围1：角与对边 2【题型二】最值与范围2：角与邻边 2【题型三】范围与最值3：有角无边型 3【题型四】最值与范围4：边非对称型 4【题型五】最值：均值型 4【题型六】图形1：内切圆与外接圆 4【题型七】图形2：“补角”三角形 6【题型八】图形3：四边形与多边形 7【题型九】三大线1：角平分线应用 8【题型十】三大线2：中线应用 9【题型十一】三大线3：高的应用 10【题型十二】证明题 10专题训练 11讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．4．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．5．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；题型全归纳【题型一】最值与范围1：角与对边【讲题型】例题1.已知的内角所对的边分别为（1）求；（2）已知，求三角形周长的取值范围.例题2.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.（1）求角A的值；（2）若，求三角形周长的取值范围.【讲技巧】．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．【练题型】1.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且.（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围.2.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且（1）求角A；（2）若，求bc的取值范围．【题型二】最值与范围2：角与邻边【讲题型】例题1..已知为锐角三角形，角所对边分别为，满足：.（1）求角的取值范围；（2）当角取最大值时，若，求的周长的取值范围.【讲技巧】三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大【练题型】1.．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．2.在中，设，，所对的边长分别为，，，且.（1）求；（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.【题型三】范围与最值3：有角无边型【讲题型】例题1.三角形中，已知，其中，角所对的边分别为.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.例题2.在锐角三角形ABC,若SKIPIF1<0(I)求角B(II)求SKIPIF1<0的取值范围【练题型】1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）若，，求b（Ⅱ）求的取值范围．2.在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.（1）求；（2）求的取值范围.【题型四】最值与范围4：边非对称型【讲题型】例题1.在中，分别是角的对边.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的范围.【练题型】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．【题型五】最值：均值型【讲题型】例题1.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.【练题型】1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BCBC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是_．【题型六】图形1：内切圆与外接圆【讲题型】例题1.在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．(1)求角和边的大小；(2)求△的内切圆半径．例题2.中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.【讲技巧】外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R为外接圆半径内切圆：等面积构造法求半径【练题型】1.锐角的三个内角是，满足．(1)求角的大小及角的取值范围；(2)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．2.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求的内切圆半径.【题型七】图形2：“补角”三角形【讲题型】例题1.在中，已知，，，为边上的中点，的面积为.(1)求的长；(2)点在边上，且，与相交于点，求的余弦值.例题2.如图，在平面四边形中，，，.(1)当，时，求的面积；(2)当，时，求.【练题型】1.如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.(1)求；(2)若，求长.2.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB与△ABC的面积；(2)求线段AD的长．【题型八】图形3：四边形与多边形【讲题型】例题1.如图，在平面四边形ABCD中，，.(1)若的面积为，求AC；(2)在（1）的条件下，若，求.例题2.如图，在四边形中，．(1)证明：为直角三角形；(2)若，求四边形面积S的最大值．【练题型】1.如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．(1)若，求；(2)若，设，求．2.如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.(1)当时，求；(2)当五边形的面积时，求的取值范围.【题型九】三大线1：角平分线应用【讲题型】例题1.在中，设角，，所对的边分别为，，，且(1)求；(2)若为上的点，平分角，且，，求.【讲技巧】角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：【练题型】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角C；(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值．【题型十】三大线2：中线应用【讲题型】例题1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.【讲技巧】中线的处理方法1.向量法：双余弦定理法（补角法）：如图设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等【练题型】锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(1)求角C的大小；(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．【题型十一】三大线3：高的应用【讲题型】例题1.的内角的对边分别为，已知，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【讲技巧】高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如2.三角函数法：【练题型】记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.【题型十二】证明题【讲题型】例题1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【练题型】在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.(1)求角的大小；(2)若，证明：是直角三角形.1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，D为边上的一点，，且是的平分线，求的面积.2．（山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，且满足：(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．3．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.(1)从下列中选择一个证明：①证明：；②证明：.(2)若，，，求面积的最小值．4．（重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题）在中，角的对边分别为且.(1)求角C；(2)求的最大值.5．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且．(1)求A的值；(2)若的面积为，求a的最小值．6．（云南省部分学校2023届高三上学期12月联考数学试题）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．7．（2023·全国·模