专题14解直角三角形之新定义模型（原卷版）

专题14解直角三角形之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。【知识储备】模型1、新定义模型此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。图1图22）余弦定理：如图2，．3）正弦面积公式：如图2，.4）同角三角函数的基本关系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：（用＞、＝或＜连接），并说明理由．事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，在中，，∴，在中，由勾股定理得，即，整理可得：，同理可得：．利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小；（2）在中，，其中，求边长c的长度．例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为.请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.

例4．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s=．例5．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式：，，（其中：）例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4例6．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；(2)求风叶的长度．

例7．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)的值为___________A．

B．1

C．

D．2(2)对于，的正对值的取值范围是___________．(3)已知，其中α为锐角，试求的值．例8．（2023·广东九年级课时练习）阅读下列材料：题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示.解：如图2，作边上的中线，于，则，，，在中，根据以上阅读，请解决下列问题：(1)如图3，在中，，，，求，的值(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示.例9．（2023秋·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：如图1：，如图2：，如图3：①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有；②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求．

例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是；(2)若角α的终边与直线重合，则的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；(4)若，则的取值范围是．课后专项训练1．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江西抚州·九年级校考期中）定义一种运算：，，则的值为．4．（2023·成都市九年级期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为．5．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝．6．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．(1)你认为选择（填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；(2)请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．7．（2023·云南昆明·九年级校联考阶段练习）关于三角函数有如下的公式：①②；③利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：（1）求的值；（2）如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为此时直升机与建筑物的水平距离为求建筑物的高．8．（2023春·重庆·九年级专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得：；；；．例如：．类似地，求：(1)的值．(2)的值．(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．9．（2023·成都市九年级期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，AB=AC，顶角的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：(1)___________，___________；(2)如图，已知，其中为锐角，试求的值．10．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）阅读理解：如图1，在中，a，b，c分别是的对边，，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，可得，即（规定）．(1)探究活动：如图2，在锐角中，a，b，c分别是的对边，其外接圆半径为R，那么：___________（用>，=或<连接），并说明理由．(2)初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是的对边，，求c．(3)综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为，点D处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100米，求楼的高度．（参考数据：，）11．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°；（2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数．13．（2023春·山东·九年级专题练习）阅读下面的材料：（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，而c=，，于是就有；（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，∴AD=c•sinB，∴S△ABC=a•AD=ac•sinB，在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b•sinC．∴S△ABC=a•AD=ab•sinC．同理可得S△ABC=bc•sinA．因此有S△ABC=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．也就是=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．每项都除以abc，得，故．请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；（2）求问题（1）中△ABC的面积；（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）13．（2023·湖北·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．14．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c（1）求证：（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值15．（2023·广东广州·校考一模）阅读下列材料：如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∴∴同理：∴（1）通过上述材料证明：（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在中，，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以