专题04ω的取值范围与最值问题

专题04ω的取值范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：零点问题题型二：单调问题题型三：最值问题题型四：对称性问题题型五：性质的综合问题【方法技巧与总结】1、在区间内没有零点同理，在区间内没有零点2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点3、在区间内有个零点同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5、已知单调区间，则.【典型例题】题型一：零点问题例1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因为函数，在上没有零点，所以，所以，即，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以或，当时，；当时，，又因为，所以的取值范围是：.故选：C.例2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】根据题意，函数，若，即，必有，令，则，设，则函数和在区间内有4个交点，又由于，必有，即的取值范围是，故选：B.例3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】由，得，即.设，即在有且仅有6个实数根，因为，故只需，解得，故选：D．变式1．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因为，当时，，因为函数在上有且仅有个零点，则，解得.故选：B.变式2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为，令，即，所以，在上有且只有5个零点，因为，所以，所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，则，即，所以实数的范围是.

故选：C变式3．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（

）A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）【解析】因为，当时，，因为函数在上有且只有3个零点，由余弦函数性质可知，解得.故选：D．题型二：单调问题例4．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（m，m）上是增函数，则m的取值范围是（

）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]【解析】因为相邻两个对称轴之间的距离2π，则，即，则，则，由，得，所以在上是增函数，由得.故选：B.例5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，所以，化简得，即的取值范围是.故选：D例6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为函数在上是减函数，所以，，，解得，所以，解得，又，所以，所以的取值范围是.故选：A变式4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由题意得，函数，令，即.因为函数在区间上单调递减，则且，且，解得，且，又，所以.故选：C.变式5．（2022·陕西榆林·三模（理））已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由，得，则，解得．又，∴，故，即．由，得，则，解得，因为，故，即，综上所述，的取值范围为．故选：A.变式6．（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，即，若在上单调递减，则的周期，即，得，由，，得，，即，即的单调递减区间为，，若在上单调递减，则，，即，，当时，，即的取值范围是.故选：D．变式7．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．或【解析】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上单调递增知，，所以，故选：C变式8．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，由，，得，，所以的单调递增区间为，，依题意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，当时，，又，所以，当时，.综上所述：.故选：C.题型三：最值问题例7．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】，，则，要使f(x)在上的值域是，则.故选：C.例8．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】令，因为，所以，问题转化为函数在时恰有两个最小值点，所以有，因为，所以，故选：A例9．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】当时，，因为函数在区间上的值域为，所以，解得.故选：.变式9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】由的值域为,可得，由可得，所以，解得，所以a的取值范围是，故选:C变式10．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（

）A． B．C． D．【解析】当时，即时，函数有最小值，令时，有，，，，因为函数在内恰有两个最小值点，，所以有：，故选：B题型四：对称性问题例10．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【解析】，令，，则，，函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：C.例11．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】当时，，函数在内有且仅有三条对称轴，则有，解得，故选：B.题型五：性质的综合问题例12．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调，可得，即，所以且，解得，，又，当时，可得，因为函数在区间上恰好取得一次最大值2，且函数的图象过原点，所以，解得综上可得：，故选：B例13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，在区间上单调递增，∴，，由，则，则，解得，∴；当时，，要使得该函数取得一次最大值，故只需，解得；综上所述，的取值范围为.故选：C.例14．（2022·江苏·高一专题练习）若有零点，值域为则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】定义在上的函数，，函数有零点，，．因为函数的值域，求得，则的取值范围为，故选：D．变式11．（2022·全国·高一专题练习）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D变式12．（多选题）（2022·广东清远·高一期末）设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（

）A．的取值范围是B．的图象与直线在上的交点恰有2个C．的图象与直线在上的交点恰有2个D．在上单调递减【答案】AB【解析】当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故A正确；又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，且，则在上，出现两次最大值，此时函数的大致图象如图示：即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；由于当时，，，当时，取最小值，由于是否取到不确定，故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；当时，，因为，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定单调递减.故选：AB.变式13．（多选题）（2022·云南师大附中高一期中）已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的是（

）A．B．若，则函数的最小正周期为C．关于x的方程在区间上最多有3个不相等的实数解D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为【答案】ABCD【解析】，所以，A正确；由在区间上单调，，得，，，则是对称轴方程，而是对称中心，所以，，B正确；由在区间上单调，，得，，所以在上至多有3个完整周期，而在1个完整周期内只有1解，故在上最多有3个实数解，因此C正确；函数在区间上恰有5个零点，则，即，解得，又，即，，所以，D正确．故选：ABCD．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】由题意，函数，因为，可得，又函数的图象在区间上恰有3个最高点，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：C．2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】依题意，即，又，所以，解得，又，所以，所以，要使函数在内单调递减，所以，解得，即；故选：B3．（2022·河南南阳·高一期末）设函数，已知在上有且仅有个零点，则下列说法错误的是（

）A．的取值范围是B．的图象与直线在上的交点恰有个C．的图象与直线在上的交点可能有个D．在上单调递减【解析】对于A选项，因为，当时，，因为函数在上有且仅有个零点，所以，，解得，A对；对于B选项，当时，且，由可得或，故的图象与直线在上的交点恰有个，B对；对于C选项，若，即当时，由，可得或，所以，的图象与直线在上的交点可能有个，C对；对于D选项，当时，，因为，则，，所以，函数在不一定单调递减，D错.故选：D.4．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】，由，，可得，根据正弦函数的单调性，可得：，又，所以，即.故选：D.5．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数在上有且只有4个零点，则取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由题意，，，∴，解得．故选：B．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（

）A． B．2 C． D．8【解析】，易知当时，函数在区间上取得最小值，所以，，所以，，又，所以，所以．故选：C．7．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）为了使函数在区间上至少出现5次最大值，则的最小值为（

）A．4π B．8π C．10π D．12π【解析】由题意知：，又在上的最大值依次在处取得，要至少出现5次最大值，可得.故选：B.8．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图像与直线有且仅有一个交点，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【解析】因为函数的图像关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图像与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，，故的最小值为故选：D9．（2022·全国·高一专题练习）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（

）A．9 B．15 C．21 D．33【解析】当时，因为，所以，又在区间上不单调，所以，即．因为直线是曲线的一条对称轴，所以，即，故的最小值为21．故选：C10．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数（ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解析】对任意，都有，为函数的最大值，则，，得，，在区间，上不单调，，即，即，得，则当时，最小.故选：B.二、多选题11．（2022·江西上饶·高一期末）设函数，若在上有且仅有3条对称轴，则（

）A．在上有且仅有2个最大值点B．在上有且仅有2个零点C．的取值范围是D．在上单调递增【答案】ACD【解析】∵，，∴，∴，令，∴，画出图象进行分析：对于A选项：由图象可知：在上有且仅有，对应的这2个最大值点，故A选项正确；对于B选项：当，即时，在有且仅有2个零点；当，即时，在有且仅有3个零点，故B选项不正确；对于C选项：∵在有且仅有3条对称轴，∴，∴，∴的取值范围是，故C选项正确；对于D选项：∵，，∴，∴，由C选项可知，，∴，即在上单调递增，故D选项正确.故选：ACD.12．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知函数的图象经过原点，且恰好存在2个，使得的图象关于直线对称，则（

）A．B．的取值范围为C．一定不存在3个，使得的图象关于点对称D．在上单调递减【答案】ABD【解析】因为，得，A正确．设，则如图所示，由，得，所以，得，B正确．如图所示，当时，存在3个，使得的图象关于点对称．C错误．因为，所以，又，所以，所以在上单调递减，D正确．故选：ABD三、填空题13．（2022·江西·景德镇一中高一期中）函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为_______．【答案】【解析】由，得，因为函数在区间上单调递增，且，所以，解得，由，得，因为存在唯一，使得所以，解得，综上所述的取值范围为.故答案为：.14．（2022·辽宁营口·高一期末）函数在上单调递增，则取值范围为_____【答案】【解析】令，可得，因为函数在上单调递增，故，解得，结合，故当时，取值范围为，时不符合题意，故取值范围为，故答案为：15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零