33抛物线的标准方程-2021-2022学年高二数学培优训练（2019选择性）

3.3抛物线的标准方程（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分一、单项选择题：1．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以则，当最小时，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，，整理可得，，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，，所以的最大值为：，故选：B．【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．2．已知点，点在抛物线上，过点的直线与直线垂直相交于点，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由题，由于过抛物线上一点的直线与直线垂直相交于点，可得，又，故，所以的坐标为，由余弦定理可得.故选：D.考点：抛物线的定义、余弦定理．【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力3．已知，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的模的几何意义可得点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，再根据向量模的几何意义以及抛物线的定义可求得结果.【详解】设的始点为原点，终点分别为，因为对任意恒成立，所以，所以点到直线的距离等于点到点的距离，所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，设向量的终点为，则在该抛物线内，则表示，过作，垂足为，过作，垂足为，所以，设，则，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查了向量的模的几何意义，考查了抛物线的定义，考查了向量垂直的数量积表示，解题关键是利用向量的模的几何意义得到点的轨迹为抛物线，属于难题4．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称曲线上一点，则的最小值是A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用点关于直线对称得到曲线方程，设，计算，根据二次函数性质得到答案.【详解】设圆心关于直线对称的点为，则，解得，曲线为，设，故，当时，有最小值为，故的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了圆关于直线对称，抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，应用能力.5．已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题：①当为正三角形时，的值为；②存在点，使得；③若，则等于；④的最小值为，则等于或.其中正确的是（）A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④【答案】C【分析】对于①可知，当为正三角形时与准线垂直，画出图形结合几何关系即可求得的值；对于②根据向量关系可知，结合点的位置即可判断；对于③，作出几何图形，根据线段比例关系即可求得的值；对于④，作关于准线的对称点，连接交准线于，可知即为的最小值，根据线段几何关系及最小值即可求得的值.【详解】对于①，当为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交轴于，,由抛物线定义可知，则与准线垂直，所以，则，所以,而，即，所以①正确；对于②，假设存在点，使得，即，所以点为的中点，由抛物线图像与性质可知，为抛物线上一点，为焦点，线段在轴右侧，点在抛物线准线上，在轴左侧，因而不可能为的中点，所以②错误；对于③，若，则，作垂直于准线并交于，准线交轴于，如下图所示：由抛物线定义可知，根据相似三角形中对应线段成比例可知，即，解得，所以③正确；对于④，作关于准线的对称点，连接交准线于，作垂直于准线并交于，作垂直于轴并交于，如下图所示：根据对称性可知，此时即为的最小值，由抛物线定义可知，所以的横坐标为，代入抛物线可知，的最小值为，，则，即，化简可得，即，解得或，当p=12时，不满足点A到焦点F的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程的求法与几何性质的综合应用，应用几何线段关系求参数，综合性较强，属于难题.二、多选题6．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与该抛物线的两个交点为，，则（）A．B．以为直径的圆与直线相切C．的最小值D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上【答案】ABD【分析】直线的方程为，联立可得，然后表示出，，，即可判断A、B，当直线与轴平行时，，，可判断C，直线的方程为，与的交点坐标为，可判断D.【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为联立可得，所以，故A正确以为直径的圆的圆心为，即半径为所以圆心到直线的距离为，等于半径所以以为直径的圆与直线相切，即B正确当直线与轴平行时，，所以的最小值不是，故C错误直线的方程为，与的交点坐标为因为，所以经过点与轴垂直的直线与直线交点在定直线上故D正确故选：ABD【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，这两点的横坐标之积和纵坐标之积为定值，以两交点为直径的圆与抛物线的准线相切.7．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹曲线是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”【答案】BCD【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．【详解】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，把代入抛物线，消去y并整理得因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．8．设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C．存在直线，使得、两点关于对称D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切【答案】BD【分析】根据得到故，错误，，正确，计算中点在抛物线上，错误，计算，正确，得到答案.【详解】，故，，故，错误；过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；设，，设中点则，，相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；故选：.【点睛】本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.三、填空题9．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则______．【答案】49【分析】将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率，求得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点在曲线上，所以，则双曲线的方程为，即，则，所以抛物线方程为，准线方程为，设，则，由，得，所以处的切线方程为，即，即，将点代入可得，同理可得，所以直线的方程为，联立抛物线的方程，可得，所以，所以.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程，，从而可得切点弦的方程为，考查计算能力，属于较难题10．抛物线的焦点为，准线为，是上在第一象限内的一点，点在上，已知，，则直线与轴交点的坐标为___________.【答案】【分析】先画出图形，设，由及可得，，再设在上射影为，由抛物线定义，及，可得，进而再求出，，再由中点坐标公式求出点P的坐标即可.【详解】设，则，，由可得，设在上射影为，由抛物线定义，，因为，所以，故垂直平分，直线经过线段中点，因为轴，所以中点在轴上，因为，，所以点的坐标为.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.11．已知抛物线：，其焦点为，的准线交轴于点，，为抛物线上动点，且直线过点，过，分别作，的平行线，（为坐标原点），直线，相交于点，记点的运动轨迹为曲线，直线与曲线无交点，则的取值范围是______.【答案】【分析】根据题意得，设，直线的方程为：，与抛物线联立得，，再设，根据题意得曲线的方程为：，再根据双曲线的性质即可得答案.【详解】解：根据题意得，直线的斜率存在且不取零，记为，设，直线的方程为：联立直线与抛物线方程得：，所以有所以，所以，设，则，，所以，即：，所以的运动轨迹曲线的方程为：，因为直线与曲线无交点，曲线的渐近线方程为：，所以或者时，直线与曲线无交点.故答案为：【点睛】本题考查曲线的轨迹方程的求解，直线与双曲线的位置关系求参数，是难题.四、解答题12．已知抛物线（）的焦点为，且为圆的圆心.过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）.（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程.【答案】（1），证明见解析；（2）.【分析】（1）求得圆心坐标，从而求得的坐标，进而求得抛物线的方程.设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义计算出为定值.（2）首先由得到，结合求得，结合弦长公式以及根与系数关系求得，从而求得直线的方程.【详解】（1）圆的圆心为，半径为.所以故，所以抛物线方程为.设直线的方程为，，，，∴，，∴为定值.（2）（），由（1）知，可求得，，故，，，由图可知，故，所以的方程为即.【点睛】有关直线和圆锥曲线的位置关系问题，可以设而不求，结合根与系数关系对问题进行求解.13．已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）当最小时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线的方程为和抛物线方程联立利用韦达定理代入即可求得；（2）利用抛物线定义结合基本不等式求得取最小值时的值，代入点B坐标，将点代入，求得直线方程.【详解】（1）设直线的方程为，得设，，所以，因为，所以又，所以，又因为，所以.（2）根据抛物线定义，得，所以，当且仅当时等号成立.将代入，得（负值舍去）.将代入，得，即点将点代入，得所以直线的方程为，即.14．已知抛物线和右焦点为F的椭圆．如图，过椭圆左顶点T的直线交抛物线于A，B两点，且．连接AF交于两点M，N，交于另一点C，连BC，Q为BC的中点，TQ交AC于D．（1）证明：点A的横坐标为定值；（2）记，的面积分别为，，若，求抛物线的方程．【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)设直线的斜率为，，写出直线的方程，与抛物线进行联立，结合韦达定理可得，由可知，从而可得，进而可求出，即可证明A的横坐标为定值.(2)由(1)知，，，写出直线的方程，与椭圆进行联立，设，由韦达定理可得横坐标之和和之积，由弦长公式可求出，直线与抛物线联立，可求出，由中点坐标公式可求出，即可求出直线的方程，与直线联立可求出，从而可求出，由点到直线的距离公式可求出两三角形的高，由已知两面积的比可得，即可求出，进而可求出，结合在抛物线上可求出，进而可求出抛物线的方程.【详解】(1)证明：由题意知，，直线的斜率存在设为，，不