专题03平面向量（重难点突破）学生版

专题03平面向量【重难点知识点网络】：1、向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4、平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)5、向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤eq\a\vs4\al(θ)≤180°eq\o(θ＝0°,\s\do4())或θ＝eq\o(180°,\s\do4())⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b6、平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积7、向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)8、平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【重难点题型突破】：一、平面向量的有关概念例1、（多选题）（河北衡水二中2019届高三调研）下列有关向量命题，不正确的是（）A．若，则 B．已知，且，则C．若，则 D．若，则且【变式训练11】、下列叙述错误的是________(填序号)．①已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0；⑤若λa＝λb，则a＝b.【变式训练12】、设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4

二、平面向量的线性运算例2（1）（2020·全国高三专题练习）在中，，则（）A． B． C． D．（2）设分别为的三边的中点，则()B．C．D．【变式训练21】、(2019·河北衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(5,2)μ－λ＝()A.－eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.－3【变式训练22】、（广东省惠州中学2021届高三期末）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）A． B．C． D．【变式训练23】、（广东省汕头市金山中学2021届高三期中）在中,,,为斜边上靠近点的三等分点,为边的中点,则的值为__________.

三、平面向量的的坐标运算例3．（1）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R)，则=．（2）(2019·高考全国卷Ⅱ)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－3 B．－2C．2 D．3（3）（2019·天津新华中学调研）设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A.－2eq\o(AD,\s\up6(→))B.2eq\o(AD,\s\up6(→))C.－3eq\o(AD,\s\up6(→))D.3eq\o(AD,\s\up6(→))【变式训练31】、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up7(→))，则P点的坐标为()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)【变式训练32】、已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（）A． B． C． D．

【变式训练33】、已知点、、、，则向量在方向上的投影为A． B． C． D．四、平面向量的数量积例4．（多选题）下列结论正确的是（）A．若，则是钝角三角形B．若，则C．，D．若，，三点满足，则，，三点共线【变式训练41】、（2020·全国高三专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A． B．C． D．【变式训练42】、．（2020·武威第六中学高三月考（理））已知向量满足，，则（）A．4 B．3 C．2 D．0

【变式训练43】、已知向量满足，，，则（）A． B． C． D．【变式训练44】、（2020·山东临沂·高三期中）已知向量，，若，，则______．【变式训练45】、（福建省莆田第一中学2021届高三期中）设向量，，，且，则（）A．3 B．2 C．2 D．3【变式训练46】、（福建省永安市第三中学2021届高三期中）已知向量，，若，且，则实数（）A． B．C． D．

五、平面向量的的综合应用例5．（多选题）（2021·山东师范大学附中高三学业考试）下列关于平面向量的说法中正确的是（）A