专题04不等关系及基本不等式（原卷版）

专题04不等关系及基本不等式【考点总结】考点01不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系．（2）用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．考点02两个实数大小的比较（1）作差法：设a，bR，则，a<b⇔a−b<0.（2）作商法：设a>0，b>0，则a>b⇔，a<b⇔.考点03不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系①a>b⇔；②；③a<b⇔.（2）不等式的性质①对称性：；(双向性)②传递性：a>b，b>c⇒；(单向性)③可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)④a>b，c>d⇒；(单向性)⑤可乘性：；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)⑥a>b>0，c>d>0⇒；(单向性)⑦乘方法则：；(单向性)⑧开方法则：a>b>0⇒(nN，n≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.考点04必记结论（1）a>b，ab>0⇒.（2）a<0<b⇒.（3）a>b>0,0<c<d⇒.（4）0<a<x<b或a<x<b<0⇒.（5）若a>b>0，m>0，则；(b−m>0)；；(b−m>0)．考点05一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）两根式：.考点06一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．考点07一元二次不等式恒成立问题（1）恒成立的充要条件是：且．（2）恒成立的充要条件是：且．（3）恒成立的充要条件是：且．（4）恒成立的充要条件是：且．（5）恒成立的充要条件是：且或且．（6）恒成立的充要条件是：且或且．考点08分式不等式的解法若与是关于的多项式，则不等式(或<0，或0，或0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即;;;.对于形如a(或<a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解.2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．【题型归类】类型一比较大小1.若a=2x2+1，b=x2+2x，c=−x−3，试比较a【变式11】对于任意实数，下列正确的结论为（）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则．【变式12】下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【变式13】已知，均为正数，且，则（）A． B． C． D．类型二求取值范围2.若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且，，求f(－2)的取值范围.【变式21】已知是函数的两个零点，，.(1)证明；(2)当且仅当在什么范围内时，函数存在最小值；(3)若，求的取值范围.【变式22】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围.【变式23】已知函数f(x)=ax（1）当a=2时，解关于x的不等式f(x)≤0；（2）若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.类型三恒成立问题3.已知函数．(1)若，求实数x的取值范围；(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的值范围．【变式31】已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.类型四解分数不等式4.解关于x的不等式:

<0(a∈R).专题训练1.已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>02.函数则对任意实数,下列不等式总成立的是()A． B．C． D．3．下列命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则4.已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．5．设，则A． B．C． D．6．三个正整数，，满足条件:，，，若，则的最大值是A．12 B．13C．14 D．157.函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．关于的不等式的解集为，则的取值范围为A． B．C．或 D．9．设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则的取值范围是A． B．C．