【数学】抛物线的简单几何性质（一）课件+2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

§3.3.2抛物线的简单几何性质（一）定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程温故知新y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)1、范围

由抛物线y2=2px（p>0）∴抛物线的范围为如何研究抛物线y2=2px（p>0）的几何性质?结论：抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同；当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。2、对称性即点(x,-y)

也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，3、顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)

的顶点（0，0）注：这与椭圆、双曲线不同。4、离心率P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.图形标准方程焦点坐标准线方程范围顶点对称轴离心率y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry

≤

0x∈R(0,0)x轴y轴e=1归纳：抛物线的几何性质特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有对称中心、没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线、离心率是1；思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.p越大,开口越大【完成课本P136页练习第2题】拓展：（1）通径：xyOFABy2=2px2p

过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.

连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP（2）焦半径

（3）焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFAB①过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径。|AB|=2p焦点弦公式：②以AB为直径的圆与准线l相切.练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是

.2、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=

。163、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么=

.184

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，）解:∴设方程为：又因为点M在抛物线上：∴因此所求抛物线标准方程为：例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.注意：当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m

≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论练1：已知抛物线顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,),求它的标准方程.MOyx．例2：斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。

解法1：

F1(1,0),

解法2：

F1(1,0),

解法3：

F1(1,0),|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8A1B1归纳总结图形标准方程焦点坐标准线方程范围顶点对称轴离心率xFOylxFOylxFOylxFOylx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry

≤

0x∈R(0,0)x轴y轴e=1y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛