上海市高考数学圆锥曲线试题

...wd......wd......wd...高考数学圆锥曲线试题汇编以F1〔2,0〕，F2〔2,0〕为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔21〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问4分，〔Ⅱ〕小问8分〕如题〔21〕图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。题〔21〕图〔Ⅰ〕求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；〔Ⅱ〕假设a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。(21)(此题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；〔Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．〔5〕如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(A) (B) (C) (D)(10)抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于A.3B.4C.3D.4〔21〕(本小题总分值12分)求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.〔Ⅰ〕假设r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;〔Ⅱ〕设过定点M〔0，2〕的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角〔其中O为作标原点〕，求直线的斜率的取值范围.上海理科：8、双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为21、半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆〞，其中，是对应的焦点。〔1〕假设三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆〞的方程；〔2〕假设，求的取值范围；〔3〕一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上假设存在，求出所有的值；假设不存在，说明理由。上海文21．〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值5分，第3小题总分值9分．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆〞，其中，，．yO...Mx.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆〞与，轴的交点，是线段的中点．yO...Mx.〔1〕假设是边长为1的等边三角形，求该“果圆〞的方程；〔2〕设是“果圆〞的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；〔3〕假设是“果圆〞上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．陕西文3.抛物线的准线方程是〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕9.双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是〔A〕a (B)b (C) (D)22.(本小题总分值14分)椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.22．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．〔Ⅱ〕设，．〔1〕当轴时，．〔2〕当与轴不垂直时，设直线的方程为．由，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．当最大时，面积取最大值．山东理〔13〕设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为．〔21〕〔本小题总分值12分〕椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕假设直线与椭圆相交于，两点〔不是左右顶点〕，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为，(II)设，由得，，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为全国2理11．设分别是双曲线的左、右焦点，假设双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为〔〕A．B． C． D．12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，假设，则〔〕A．9 B．6 C．4 D．320．〔本小题总分值12分〕在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．〔1〕求圆的方程；〔2〕圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．20．解：〔1〕依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 ． 得圆的方程为．〔2〕不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即 ．由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．全国2文11．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于〔〕A． B． C．D．12．设分别是双曲线的左、右焦点．假设点在双曲线上，且，则〔〕A．B． C． D．全国1理〔4〕双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为〔〕A． B． C． D．〔11〕抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的局部相交于点，，垂足为，则的面积是〔〕A． B．C． D．〔21〕〔本小题总分值12分〕椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．〔Ⅰ〕设点的坐标为，证明：；〔Ⅱ〕求四边形的面积的最小值．〔21〕证明：〔Ⅰ〕椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．〔Ⅱ〕〔ⅰ〕当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，．四边形的面积．当时，上式取等号．〔ⅱ〕当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为．宁夏理6．抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．13．双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．319．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．〔=1\*ROMANI〕求的取值范围；〔=2\*ROMANII〕设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．19．解：〔Ⅰ〕由条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．〔Ⅱ〕设，则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由〔Ⅰ〕知或，故没有符合题意的常数．辽宁理11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，假设，则的面积为〔〕A． B． C． D．14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，假设点满足，则=．20．〔本小题总分值14分〕正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆〔点为圆心〕〔I〕求圆的方程；〔II〕设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．本小题主要考察平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考察综合运用解析几何知识解决问题的能力．总分值14分．〔I〕解法一：设两点坐标分别为，，由题设知．解得，所以，或，．设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为． 4分解法二：设两点坐标分别为，，由题设知．又因为，，可得．即．由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． 4分〔II〕解：设，则． 8分在中，，由圆的几何性质得，，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．江西理9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点〔〕Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能21．〔本小题总分值12分〕设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．〔1〕证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；〔2〕过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．解法一：〔1〕在中，，即，，即〔常数〕，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．方程为：．〔2〕设，①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．即，因为，所以．②当不垂直于轴时，设的方程为．由得：，由题意知：，所以，．于是：．因为，且在双曲线右支上，所以．由①②知，．解法二：〔1〕同解法一〔2〕设，，的中点为．①当时，，因为，所以；②当时，．又．所以；由得，由第二定义得．所以．于是由得因为，所以，又，解得：．由①②知．江西文7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为〔〕Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点〔〕Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能22．〔本小题总分值14分〕设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．〔1〕证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；〔2〕如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由．22．解：〔1〕在中，〔小于的常数〕故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．方程为．〔2〕方法一：在中，设，，，．假设为等腰直角三角形，则由②与③得，则由⑤得，，故存在满足题设条件．方法二：〔1〕设为等腰直角三角形，依题设可得所以，．则．①由，可设，则，．则．②由①②得．③根据双曲线定义可得，．平方得：．④由③④消去可解得，故存在满足题设条件．江苏理3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为A．B．C．D．15．在平面直角坐标系中，顶点和，顶点在椭圆上，则.QUOTE19、〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，〔1〕假设，求的值；〔5分〕〔2〕假设为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；〔5分〕〔3〕试问〔2〕的逆命题是否成立说明理由。〔4分〕解：〔1〕设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以，即，所以，即所以〔2〕设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。〔3〕〔2〕的逆命题是成立，由〔2〕可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。9．设分别是椭圆〔〕的左、右焦点，假设在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是〔〕A． B． C．D．20．〔本小题总分值12分〕双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．〔I〕假设动点满足〔其中为坐标原点〕，求点的轨迹方程；〔II〕在轴上是否存在定点，使·为常数假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．20．解：由条件知，，设，．解法一：〔I〕设，则则，，，由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．〔II〕假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．解法二：〔I〕同解法一的〔I〕有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得．…………………④．……………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．〔II〕假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由〔I〕有，．以上同解法一的〔II〕．湖南文9．设分别是椭圆〔〕的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为〔为半焦距〕的点，且，则椭圆的离心率是〔〕A． B． C． D．19．〔本小题总分值13分〕双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．〔I〕证明，为常数；〔II〕假设动点满足〔其中为坐标原点〕，求点的轨迹方程．19．解：由条件知，设，．〔I〕当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，此时．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入，有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．综上所述，为常数．〔II〕解法一：设，则，，，，由得：即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．解法二：同解法一得……①当不与轴垂直时，由〔I〕有．…②．………③由①②③得．…………………④．……………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．湖北理7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于〔〕A． B． C． D．10．直线〔是非零常数〕与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有〔〕A．60条 B．66条 C．72条 D．78条19．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线〔〕相交于两点．〔I〕假设点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；〔II〕是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值假设存在，求出的方程；假设不存在，说明理由．〔此题不要求在答题卡上画图〕AABxyNCO19．本小题主要考察直线、圆和抛物线等平面解析几何的根基知识，考察综合运用数学知识进展推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：〔Ⅰ〕依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得．NOACByNOACByx于是．，当时，．〔Ⅱ〕假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：〔Ⅰ〕前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得．从而，当时，．〔Ⅱ〕假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则．设直线与以为直径的圆的交点为，则有．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．湖北文12．过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．广东理11．在平面直角坐标系中，有一定点,假设线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是．18．(本小题总分值14分)在平面直角坐标系中，圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆的方程；(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．18.解：(1)设圆心坐标为(m，n)〔m<0，n>0〕,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=4①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。广东文11．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是．19(本小题总分值14分)在平面直角坐标系中，圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆的方程；(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．19解:(1)设圆C的圆心为(m,n)则解得所求的圆的方程为(2)由可得椭圆的方程为,右焦点为F(4,0);假设存在Q点使,整理得代入得:,因此不存在符合题意的Q点.福建理6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是〔〕A． B．C． D．Oyx1Oyx1lF直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．〔Ⅰ〕求动点的轨迹的方程；〔Ⅱ〕过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，，，求的值；20．本小题主要考察直线、抛物线、向量等根基知识，考察轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考察运算能力和综合解题能力．总分值14分．PBQMFOAxy解法一：〔PBQMFOAxy，化简得．〔Ⅱ〕设直线的方程为：．设，，又，联立方程组，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：〔Ⅰ〕由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．〔Ⅱ〕由，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．福建文10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．22．〔本小题总分值14分〕如图，，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．〔Ⅰ〕求动点的轨迹的方程；〔Ⅱ〕过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．〔1〕，，求的值；〔2〕求的最小值．22．本小题主要考察直线、抛物线、向量等根基知识，考察轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考察运算能力和综合解题能力．总分值14分．PBQMFOAxy解法一：〔PBQMFOAxy，化简得．〔Ⅱ〕〔1〕设直线的方程为：．设，，又，联立方程组，消去得：，，由，得：，，整理得：，，．解法二：〔Ⅰ〕由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．〔Ⅱ〕〔1〕由，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．〔Ⅱ〕〔2〕解：由解法一，．当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．北京理17．〔本小题共14分〕矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．〔=1\*ROMANI〕求边所在直线的方程；〔=2\*ROMANII〕求矩形外接圆的方程；〔=3\*ROMANIII〕假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．17．〔共14分〕解：〔=1\*ROMANI〕因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．．〔=2\*ROMANII〕由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．〔=3\*ROMANIII〕因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．北京文4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，假设，则该椭圆离心率的取值范围是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．19．〔本小题共14分〕如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．〔=1\*ROMANI〕求边所在直线的方程；〔=2\*ROMANII〕求矩形外接圆的方程；〔=3\*ROMANIII〕假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．19．〔共14分〕解：〔=1\*ROMANI〕因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．．〔=2\*ROMANII〕由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．〔=3\*ROMANIII〕因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．安徽理〔9〕如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆