2024-2025学年新教材高中数学4指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质课后素养落实含解析新人教A版必修第一册

课后素养落实(三十三)对数函数的图象和性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．－log23 B．－log32C．eq\f(1,9) D．eq\r(3)B[由题意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32，故选B.]2．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是()A．(0,5) B．(1,4)C．(2,4) D．(2,5)C[令x－1＝1，即x＝2，则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2,4)．故选C.]3．函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限A[∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如图所示，故选A.]4．函数f(x)＝|eqlog\s\do5(\f(1,2))x|的单调递增区间是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)D[f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]5．已知logaeq\f(1,3)>logbeq\f(1,3)>0，则下列关系正确的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．1<b<a D．1<a<bA[由logaeq\f(1,3)>0，logbeq\f(1,3)>0，可知a，b∈(0,1)，又logaeq\f(1,3)>logbeq\f(1,3)，作出图象如图所示，结合图象易知a>b，∴0<b<a<1.]二、填空题6．假如函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________．(1,2)[由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<3－a<1，,0<a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>1，,a>1，))解得1<a<2.∴实数a的取值范围是(1,2)．]7．若logaeq\f(2,3)<1，则a的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)[原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,\f(2,3)>a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,\f(2,3)<a，))解得0<a<eq\f(2,3)或a>1，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．]8．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，则a＝________.4[由题意可知f(x)＝logax在[a,2a∴f(x)max－f(x)min＝loga2a－logaa＝eq\f(1,2)，∴loga2＝eq\f(1,2)，∴aeq\f(1,2)＝2，∴a＝4.]三、解答题9．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解](1)作出函数f(x)＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.10．已知a＞0且满意不等式22a＋1＞2(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq\f(3,4)<x<eq\f(7,5).即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,5))).(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1,a2)＝5，解得a＝eq\f(\r(5),5).1．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()ABCDB[由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq\f(1,b)，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的状况．]2．(多选)已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有()A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若x>1，则f(x)>0D．若0<x1<x2，则eq\f(fx1＋fx2,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))ACD[由题知2＝loga4，a＝2，故f(x)＝log2x.函数为增函数，故A正确；f(x)＝log2x不为偶函数，故B错误；当x>1时，f(x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确；因为f(x)＝log2x往上凸，故若0<x1<x2，则eq\f(fx1＋fx2,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，故D正确．]3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系为________．a>c>b[∵a＝eq\f(log43.6,log42)＝2log43.6＝log43.62，又函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，3.62>3.6>3.2，∴log43.62>log43.6>log43.2.∴a>c>b.]4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,3x，x≤0，))f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．－1(0,1][∵f(－1)＝3－1＝eq\f(1,3)，∴f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq\f(1,3)＝－1.函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1.]若不等式x2－logmx<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．[解]由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．要使x2<logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内恒成立，只要y＝logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内的图象在y＝x2的上方，于是0<m<1.∵x＝eq\f(1,