2024春新教材高中数学第八章立体几何初步8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积A级基础巩固1.若某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为 ()A.22 B.20 C.10 D.11解析:所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.答案:A2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是 ()A.16 B.13 C.解析:三棱锥D1-ACD的体积V=13S△ACD×D1D=13×12答案:A3.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,假如AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 ()A.2 B.3 C.4 D.6解析:因为AB⊥AC,所以S△ABC=AB·AC2所以V棱柱ABC-A答案:B4.如图所示,某几何体的下半部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上半部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体的高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为12.解析:V正方体=23=8,V四棱锥S-ABCD=13×22×(5-2)=4.所以该几何体的体积V=V正方体+V四棱锥S-ABCD=125.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.解:已知长方体可以看成直四棱柱,设它的底面ADD1A1的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C-A1DD1的底面积为12S,高为h故V棱锥C-A1DD1=余下部分的体积为Sh-16Sh=5所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.B级实力提升6.已知长方体中过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长是214,则这个长方体的体积是 ()A.6 B.12 C.24 D.48解析:设长方体中过一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x,又体对角线长为214,则x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,解得x=2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体=2×4×6=48.答案:D7.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1V2解析:如图所示,设点C到平面PAB的距离为h,三角形PAB的面积为S,则V2=13Sh,V1=V棱锥E-ADB=13×12S×12h=112Sh,8.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,P是DD1的中点,Q是AB上的动点,求三棱锥P-CDQ的体积.解:设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,AA1=c,则有V=abc.由题意知,PD=12c,S△CDQ=12CD·AD=1所以V三棱锥P-CDQ=13S△CDQ·PD=13×12ab×12c=19.有位油漆工用一把长度为50cm,横截面半径为10cm的圆柱形刷子给一块面积为10m2的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完成任务所需的时间是多少?(精确到0.01s)解:由题意可知,圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,50cm=0.5m,10cm=0.1m.因为圆柱的侧面积为S侧=2π×0.1×0.5=0.1π(m2),且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动,所以圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5πm2.所以油漆工完成任务所需的时间t=100.5π=20πC级挑战创新10.开放性问题现有一个棱长为1的正方体礼品盒,须要买一张正方形彩纸将其完全包住,请你设计一个方案,在不将彩纸撕开的状况下,所买彩纸费用最少.(注:彩纸按面积收费)解:如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体