黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

哈尔滨市第一中学校2024－2025学年度上学期期中考试高二数学试卷出题人：高三备课组 审题人：高三备课组考试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷选择题（48分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项是正确的．）1．直线的倾斜角量（）A． B． C． D． 2．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（）A． B． C． D． 3．空间向量在上的投影向量为（）A． B． C． D． 4．“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设点，直线，当点到的距离最大时，直线的斜率为（）A． B． C． D． 6．设直线，点，，为上任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．7．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（）C． D． 8．某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（）A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部全对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9．若直线与圆相交于，两点，则的长度可能等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 10．下列命题中，正确的是（）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．直线的方向向量，平面的法向是，则C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为11．已知两圆方程为与则下列说法正确的是（）A．若两圆有3条公切线，则B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则C．若两圆公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则第Ⅱ卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．设为实数，若方程表示圆，则的取值范围为______．13．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______．14．点，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．16．（15分）已知直线和的交点为．（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的一般式方程．17．（15分）已知圆过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点在上，且．（1）求的标准方程；（2）诺直线与交于，两点，且的面积为，求的值．19．（17分）已知椭圆的离心率为，、分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．高二期中考试数学答案一、单选题题号12345678答案ABCCABBB二、多选题题号91011答案BCDACABD二、填空题12．13．14．四、解答题15．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）因为平面，平面，所以；底面为菱形，所以；又因为，，平面，所以平面．（2）如图：设，取CF的中点M，连接OM，则所以平面．故可以以O为原点，建立如图空间直角坐标系．因为为直线DA与平面ACF所成的角，所以，又，所以，，，，，则，．设平面的法向量为，则．取，则，，，又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，∵，则，∴，即平面与平面所成角的正弦值为．16．【答案】（1）（2）或【详解】：（1）联立，解得，即直线经过点且与直线，平行，故设直线的方程为：，将带入可得，故直线的方程为：，（2）由题意知直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5；则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为，与两坐标轴的交点别为，，则，解得：或，故直线的方程为：或，即或．17．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，得直线AB的斜率为，线段中点所以，直线CD的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆C的方程为；（2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，设点关于直线的对称点，则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，则有，解得，所以，所以直线CN即为直线，且，直线方程为，即．18．【答案】（1）（2）或【详解】（1）由题意，设C的标准方程为，则，，即，所以，所以C的标准方程为，（2）设，，由联立得，由题意，即，，，显然直线过定点，所以，所以，即，所以，解得或，均满足，所以或．19．【答案】（1）（2）证明见解析【详解】（1）依题意，得，则，又，分别为椭圆上下的顶点，，所以，即，所以，即，则，