寒假作业08 相似三角形的性质与判定（16道经典题型+6道中考真题）

完成时间：月日天气：寒假作业08相似三角形的性质与判定积累运用1、比例的相关概念及性质1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．2）比例中项：如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．3）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．4）比例的性质性质1：=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）；性质2：如果=，那么；性质3：如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．2、相似三角形的判定及性质1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．3、相似多边形1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫它们的相似比．2）性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．4、位似图形1）定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2）性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形关键点；（3）确定位似比，即将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．基础过关练1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（

）A． B．1 C． D．23．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（

）A．4 B．6 C．16 D．184．下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形都相似；④对角线相等的两个矩形都相似．5．已知，则________．6．如图，在矩形中，若，则的长为_______．7．如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．8．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长；(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．(1)求证：；(2)当时，求的长．10．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到，作出，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．能力提升练11．魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为表目距”，和的差称为“表目距的差”，则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距12．如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点H，则的长等于___________．13．问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．问题探究：(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．14．综合与实践【问题提出】勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．

【初步感知】（1）如图1，若，求黄金比的值．【类比探究】（2）如图2，在△中，是边上一点，将△分割成两个三角形（），若，则称为△的黄金分割线．①求证：点是线段的黄金分割点；②若△的面积为4，求△的面积．【拓展应用】（3）如图3，在△中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是△的黄金分割线吗？并说明理由．拓展培优练15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何?”它的意思是：如图，分别是正方形的边的中点，，，过点，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（

）步A．300 B．260 C．225 D．18516．请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设，则．∵，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设是已知线段，过点B作且使；②连接，在上截取；③在上截取，则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是___________中考真题练17．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（

）A． B． C． D．18．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（

）A． B． C． D．19．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．820．（2023·山东济南·中考真题）如图，在△中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（）A． B． C． D．21．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，.(1)求证：；(2)若，求证：.22．（2023•苏州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的长．

寒假作业08相似三角形的性质与判定参考答案基础过关练1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【解析】设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴

∴（负值已舍去），即该雕像的下部设计高度约是1.24m，故选B．2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，∵，∴，又∵，∴.故选C.3．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【解析】由题意可知，四边形与四边形相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：，又四边形的面积是2，∴四边形的面积为18，故选D．4．下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形都相似；④对角线相等的两个矩形都相似．【答案】1【解析】所有的正方形都相似，所以①正确；所有的菱形不一定相似，所以②错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似，所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误，故答案是1．5．已知，则________．【答案】【解析】设，则，故，故答案为．6．如图，在矩形中，若，则的长为_______．【答案】1【解析】在矩形中，，，∴，，∴，∴，故答案为1．7．如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．【答案】【解析】∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即，∵，，，∴，∴EF=，故答案为．8．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长；(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【解析】(1)∵四边形BFED是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴.(2)∵四边形BFED是平行四边形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．9．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．(1)求证：；(2)当时，求的长．【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形，∴，，，，∵，∴，∴．(2)∵，∴，即，解得．10．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到，作出，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．【解析】（1）位似图形如图所示：

（2）作出旋转后图形，，周长是．能力提升练11．魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为表目距”，和的差称为“表目距的差”，则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】根据题意得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴表高．故选A.12．如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点H，则的长等于___________．【答案】【解析】如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．∵四边形是边长为2的菱形，∴，，∵，∴，∴，，∵E为的中点，∴，∴，即点B为线段EG的中点，又∵F为的中点，∴FB为的中位线，∴，，∴，即是直角三角形，∴．在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故答案为．13．问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．问题探究：(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．【解析】[问题探究]（1）中，，是的中点，，是等边三角形，，，，，，，，，，，．（2）如图，取的中点，连接．∵是的中点，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．[问题拓展]如图，取的中点，连接．∵是的中点，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．．，，，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．．14．综合与实践【问题提出】勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．

【初步感知】（1）如图1，若，求黄金比的值．【类比探究】（2）如图2，在△中，是边上一点，将△分割成两个三角形（），若，则称为△的黄金分割线．①求证：点是线段的黄金分割点；②若△的面积为4，求△的面积．【拓展应用】（3）如图3，在△中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是△的黄金分割线吗？并说明理由．【解析】（1）设，则，由题意，，∴，整理得，解得，（不合题意，舍去），∴，∴．（2）①设中边上的高为，∵，∴，∴，∴点是的黄金分割点．②设的面积为，则的面积为，∵，∴，整理得，解得，（不合题意，舍去），∴的面积为．（3）直线不是的黄金分割线．理由如下：∵，∴，，，，∴，，∴，，∴，即，∴，∴，∴直线不是的黄金分割线．拓展培优练15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何?”它的意思是：如图，分别是正方形的边的中点，，，过点，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（

）步A．300 B．260 C．225 D．185【答案】A【解析】，，，正方形中，，过点，，则，，，分别是正方形的边的中点，设，，步，步，，即，解得，正方形城邑边长步，故选A．16．请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设，则．∵，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设是已知线段，过点B作且使；②连接，在上截取；③在上截取，则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是_________．【解析】（1）设，则．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即黄金分割数为．（2）能，道理如下：设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴点C是线段的黄金分割点．（3）如图，设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．中考真题练17．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得，解得，∴直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，∴当时，，∴位似中心的坐标为，故选A．18．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵为等边三