寒假作业07 反比例函数的图象与性质（15道经典题型+5道中考真题）

第1页共2页完成时间：________月________日天气：寒假作业07反比例函数的图象与性质积累运用1、反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2、反比例函数的图象和性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.3、反比例函数解析式的确定1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．4、反比例函数中|k|的几何意义5、反比例函数与一次函数的综合当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标.针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应x的范围.6、反比例函数的实际应用：解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．基础过关练1．某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（

）A． B． C． D．3．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大4．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．5．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（

）A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态6．如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，则的面积是（

）A．3 B．5 C．6 D．107．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）8．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．10．如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．(1)求反比例函数的解析式；(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．能力提升练11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（）A． B． C．7 D．12．已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．拓展培优练14．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；⑤连接，得到．则．思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．15．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．不用二次函数也能解决一元二次方程根的问题在课堂上，小明学习了通过观察二次函数图象与轴的交点个数，来探究一元二次方程根的情况，理解了一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标，抛物线与轴的交点个数就是相应的一元二次方程实数根的个数．爱动脑筋的小明体会到利用函数图象可以判断方程实数根的情况．于是他尝试利用以下方法探究方程的实数根的情况，思路如下：由于中，___________．于是可将方程变形成．设，．在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象．则方程的根即为一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标，这两个函数图象的交点个数即为方程的实数根的个数．任务：(1)横线上应填入的条件是___________；(2)请你根据小明的思路写出方程的实数根的情况的探究过程；(3)尝试推断方程的实数根的个数为___________．中考真题练16．（2023年内蒙古呼和浩特市中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（

）A． B．

C．

D．

17．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（）A． B． C． D．18．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．19．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________．20．（2023年四川成都中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

寒假作业07反比例函数的图象与性质参考答案基础过关练1．某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．故选C.2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵反比例函数的图象经过点，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选C．3．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】反比例函数y＝﹣，A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图象经过点（1，-5），故选项A不符合题意；B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意.故选C．4．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵点，是反比例函数的图象上的两点，∴．∵，∴．故选C．5．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（

）A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态【答案】C【解析】根据函数图象可得，A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意；B.当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意；C.当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；D.当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意，故选C.6．如图，在函数的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连接OA，OB，则的面积是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵，，∴，∵，∴.故选B．7．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）【答案】-5（答案不唯一）【解析】由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，∴实数k的值可以是-5；故答案为-5（答案不唯一）．8．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．【答案】【解析】∵x2-kx+4是一个完全平方式，∴-k=±4，即k=±4，∵在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，∴k-1＞0，∴k＞1．解得：k=4，∴反比例函数的解析式为，故答案为．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．【答案】-2＜x＜0或x＞4【解析】∵反比例函数的图象经过A（-2，2），∴m=-2×2=-4，∴，又反比例函数的图象经过B（n，-1），∴n=4，∴B（4，-1），观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．故答案为：-2＜x＜0或x＞4．10．如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．(1)求反比例函数的解析式；(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．【解析】（1）∵点A在反比例函数的图象上，∴设，∵点C是点A关于y轴的对称点，∴，∵的面积是8，∴，解得：；∴反比例函数解析式为：；（2）∵点A的横坐标为2时，∴，即，则，∵直线过点C，∴，∴，∴直线为，∴，解得：或，经检验，符合题意，∴或．能力提升练11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（）A． B． C．7 D．【答案】A【解析】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=AB，CD∥AB，∵AB∥x轴，AE⊥CD，∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜，∵OA⊥AD，∴∠DAE+∠GAO=90゜，∴∠GAO=∠D，∵OA=OD，∴△DEA≌△AGO(AAS)，∴DE=AG，AE=OG，设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a.在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a，∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a，∴A（3a,4a），E(3a,7a)，∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴，∴四边形AGHF是矩形，∴FH=AG=4a，AF=GH.∵E点在双曲线上，∴即.∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a，∴，即，∴，∵，∴.解得∴故选A．

12．已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把代入，得，解得，所以反比例函数解析式是.(2)存在点P使△ABP周长最小，理由：解和得，和，，和，，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，△ABP的周长=，．13．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．【解析】(1)∵直线与y轴交点为B，∴，即．∵点A的横坐标为2，∴．∵，∴，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；(2)由（1）得，∴．∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，∴，∵，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．拓展培优练14．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；⑤连接，得到．则．思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．【解析】（1）设直线的函数表达式为，由题意得：，∴四边形为矩形，∵，，∴，，把点代入得：，∴直线的函数表达式为，∵的坐标满足，∴点Q在直线上；（2）连接，交于点S，

由题意得四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴．∴，∵轴，∴，∴，即．（3）∵直线与反比例函数交于点C，∴，解得：或（舍去），∴，∴，当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，作于I，则，，，，则，，即，同理，当D点在上方时，有．15．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．不用二次函数也能解决一元二次方程根的问题在课堂上，小明学习了通过观察二次函数图象与轴的交点个数，来探究一元二次方程根的情况，理解了一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标，抛物线与轴的交点个数就是相应的一元二次方程实数根的个数．爱动脑筋的小明体会到利用函数图象可以判断方程实数根的情况．于是他尝试利用以下方法探究方程的实数根的情况，思路如下：由于中，___________．于是可将方程变形成．设，．在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象．则方程的根即为一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标，这两个函数图象的交点个数即为方程的实数根的个数．任务：(1)横线上应填入的条件是___________；(2)请你根据小明的思路写出方程的实数根的情况的探究过程；(3)尝试推断方程的实数根的个数为___________．【解析】（1）∵变形成，必须满足这个条件，∴横线上应填入的条件是，故答案为：；（2）由于方程中，，于是可将方程变形成，设，，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象，则方程的根即为一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标，这两个函数图象的交点个数即为方程的实数根的个数．观察图象可知，两函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根；（3）由于方程中，，于是可将方程变形成，设，，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象，则方程的根即为二次函数与反比例函数的图象交点的横坐标，这两个函数图象的交点个数即为方程的实数根的个数．观察图象可知，两函数图象有一个交点，故方程有一个实数根，故答案为：1．中考真题练16．（2023年内蒙古呼和浩特市中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（

）A． B．

C．

D．

【答案】D【解析】①当时，，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；②当时，，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限.故选D．17．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，，，，，解得，，，，的面积为3，，即，整理得：，将点代入得：，整理得：，将代入得：，解得，则，故选B．18．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．【答案】【解析】∵点都在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴，故答案为：．19．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点