27.4 正多边形和圆 同步练习VIP

第27章圆27.4正多边形和圆基础过关全练知识点1圆内接正多边形及相关定义1.(2022吉林长春宽城期末)给出下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各边相等的圆外切多边形是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各角相等的圆外切多边形是正多边形.其中正确的是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④2.(2022广东潮州饶平英才实验中学月考)如图所示,△OAB为正三角形,以点O为圆心,OA长为半径作☉O,直径FC∥AB,AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E,连结DE、EF、AF、CD、BC.求证:六边形ABCDEF是正六边形.知识点2圆内接正多边形的相关计算3.(2022四川成都中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为()A.3 B.6 C.3 D.234.(2023湖南衡阳船山实验中学模拟)苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入,发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面内,且所有碳碳键的键长都相等(如图1),组成了一个完美的六边形(正六边形),图2是其平面示意图,则∠1的度数为()A.130° B.120° C.110° D.60°5.(2023重庆万州模拟)如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则∠AOC的度数是.

6.(2023四川成都武侯模拟)已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边,那么∠BAC的度数是.

7.(2023河南驻马店驿城期末)如图,☉O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G,AE=2,则EG的长是.8.(2023浙江温州鹿城期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,半径r=4,求这个正六边形的边长和边心距OM的长.知识点3正多边形的画法9.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,山东烟台的剪纸是其中比较有代表性的.传统的剪纸先通过对折的方式将纸等分,小颖想通过将圆形纸片八等分的方式作正多边形,请你帮小颖利用直尺和圆规作一个正八边形.能力提升全练10.(2023安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连结OC,OD,则∠BAE-∠COD=()A.60° B.54° C.48° D.36°11.(2023山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.下图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-23,3),(0,-3),则点M的坐标为()A.(33,-2) B.(33,2) C.(2,-33) D.(-2,-33)12.(2023福建中考)中国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为33A.3 B.22 C.3 D.2313.(2022山西大同新荣模拟)阅读与思考请阅读下列材料,并完成相应的任务:克罗狄斯·托勒密(约90年~168年),是希腊数学家,天文学家,地理学家和占星家.在数学方面,他还论证了四边形的特性,即有名的托勒密定理,托勒密定理的内容如下:圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.如图1,若四边形ABCD内接于☉O,则有.任务:

(1)材料中划横线部分应填写的内容为;

(2)如图2,正五边形ABCDE内接于☉O,AB=2,求对角线BD的长.图1图214.(2022浙江金华中考)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答问题:作法:如图2.1.作直径AF.2.以F为圆心,FO的长为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.3.连结AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由;(3)从点A开始,以DN的长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连结这些点,得到正n边形,求n的值.图1图2素养探究全练15.如图所示,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,……,正n边形ABCDE…的AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.(1)求第1个图中∠MON的度数;(2)第2个图中∠MON的度数是,第3个图中∠MON的度数是;

(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案)16.教材的“课题学习”要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形,小明同学按照如图所示的步骤折叠:请你根据小明同学的折叠方法,回答以下问题:(1)如果设正三角形ABC的边长为a,那么CO=(用含a的式子表示);

(2)根据折叠的性质可以知道△CDE的形状为三角形;

(3)请利用(1)(2)中的结论,证明六边形KHGFED是一个正六边形

第27章圆27.4正多边形和圆答案全解全析基础过关全练1.A②中的说法错误,例如圆外切多边形是菱形,而菱形各边相等,但不是正多边形;③中的说法错误,例如圆内接多边形是矩形,而矩形各个角都是90°,都相等,但不是正多边形.故正确的说法为①④.2.证明∵△OAB是正三角形,∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°,∴∠DOE=∠AOB=60°,∵FC∥AB,∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°,∴∠COD=∠AOF=60°,∠EOF=∠BOC=60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF,BCF=CDA=DEB=EFC=FAD=ABE,∴∠BAF=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA,∴六边形ABCDEF是正六边形.3.C连结OB、OC,如图,∵☉O的周长等于6π,∴☉O的半径OB=OC=6π2π=3,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=360°4.B∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=AF=EF,∠BAF=(6-2)×180°6=120°,∴∠ABF=∠AFB=180°−120°30°,同理∠EAF=30°,∴∠1=180°-30°-30°=120°.5.144°解析正五边形的内角=(5-2)×180°÷5=108°,∴∠E=∠D=108°,∵AE,CD分别与☉O相切于A,C两点,∴∠OAE=∠OCD=90°,∴∠AOC=540°-90°-90°-108°-108°=144°.6.15°或105°解析本题易因考虑不全而致错.分情况求解如下:(1)如图1,∠BAC=∠CAO-∠BAO=60°-45°=15°;(2)如图2,∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°.综上所述,∠BAC的度数为15°或105°.7.5-1解析在☉O的内接正五边形ABCDE中,设EG=x,易知∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°,∠BAG=∠AGB=72°,∴AB=BG=AE=2,∵∠AEG=∠BEA,∠EAG=∠EBA,∴△AEG∽△BEA,∴AEBE=EG∴AE2=EG·EB,∴22=x(x+2),解得x1=-1+5,x2=-1-5(舍去),∴EG=5-1.8.解析如图所示,连结OB、OC,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=60°,∵OB=OC=4,∴△BOC是等边三角形,∴BC=OC=OB=4,∠OBM=60°,∴BM=2,∴OM=3BM=23,∴这个正六边形的边长为4,边心距OM的长为23.9.解析如图,先画圆,再画两条互相垂直的直径AE,CG,将圆弧4等分,再画出AG,GE所对弦的垂直平分线HD,FB,这样就将圆弧8等分,最后顺次连结各等分点得到正八边形ABCDEFGH.能力提升全练10.D∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=(5-2)×180°5=108°,∠COD=360°11.A如图,设中间正六边形的中心为D,连结DB.∵点P,Q的坐标分别为(-23,3),(0,-3),图中是7个全等的正六边形,∴AB=BC=23,OQ=3,∴OA=OB=3,∴OC=33,易知∠ODB=60°,∴OD=1,CM=DQ=DB=2,∴M(33,-2).12.C如图,AB是正十二边形的一条边,点O是正十二边形的中心,过A作AM⊥OB于M,在正十二边形中,∠AOB=360°÷12=30°,设OA=1,则AM=12OA=12,∴S△AOB=12OB·AM=12×1×12=113.解析(1)根据托勒密定理可得AC·BD=AB·CD+AD·BC,故答案为AC·BD=AB·CD+AD·BC.(2)如图,连结AD、AC.∵五边形ABCDE是正五边形,∴△ABC≌△DCB≌△AED,∴AB=BC=CD=2,AC=BD=AD,设AC=BD=AD=x.在圆内接四边形ABCD中,由托勒密定理可得AC·BD=AB·CD+AD·BC,即x2=2×2+x·2,解得x1=1+5,x2=1-5(舍去),∴对角线BD的长为1+5.14.解析(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=(5-2)×180°5(2)△AMN是正三角形.理由:如图,连结ON,NF,由题意可得FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形,∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°,同理可得∠ANM=60°,∴∠MAN=60°,∴△MAN是正三角形.(3)如图,连结OD,∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°,∵∠AOD=360°5∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°,∵360°÷24°=15,∴n的值是15.素养探究全练15.解析(1)如图所示,连结OB,OC,∵△ABC为正三角形,∴∠BOC=120°,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OBM=60°-30°=30°,∴∠OBM=∠OCN,又∵BM=CN,OB=OC,∴△OMB≌△ONC,∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°;72°.(3)∠MON=360°n16.解析