26.3 实践与探索 同步练习

第26章二次函数26.3实践与探索基础过关全练知识点1应用二次函数解决抛物线形问题1.(2023山西忻州原平模拟)为了使居住环境更加美观,某小区建造了一个小型喷泉,水流从地面上的点O喷出,某方向上水流的形状如图所示,落点A到点O的距离为4,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y=ax2+245A.245m B.5m C.112m2.(2023福建寿宁模拟)廊桥是中国古老的文化遗产,下图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图.已知抛物线的函数表达式为y=-140x2A.85米 B.10米 C.65米 D.83米3.(2023山西长治上党模拟)掷实心球是某市中考体育测试中的一个项目,如图所示,一名男生掷实心球,实心球行进的路线是一段抛物线,已知实心球出手时离地面2米,当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点,此时离地面3.6米,这名男生此次抛掷实心球的成绩是米.4.(2023吉林长春净月高新区模拟)如图1所示的是可移动的灌溉装置,以水平地面为x轴,点O为原点建立平面直角坐标系,喷水头A在y轴上,如图2所示,其水柱的高度y(单位:m)与水柱距离喷水头的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系式y=-427x2+89x+535.(2023河南洛阳嵩县模拟)如图,排球运动员站在点M处练习发球,将球从M点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线解析式.已知球达到最高点D时,离地面的高度ED为2.6m,与M点的水平距离EM为6m.(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系,并求出此时的抛物线解析式;(2)球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界,你认为他的判断对吗?请说明理由.知识点2应用二次函数解决最值问题6.(2023吉林长春东北师大附中净月实验学校期末)如图,点P是抛物线y=-x2+2x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴引垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为.7.(2023辽宁辽阳二中协作校模拟)为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台相关政策,该市企业提供产品给大学毕业生自主销售,政府还给予大学毕业生一定补贴.王华按相关政策投资销售某品牌服装,已知这种品牌服装的成本价为每件100元,每件政府补贴20元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数:y=-3x+900.(1)若王华将销售单价定为160元,那么政府每个月补贴多少元?(2)设王华每月获得的总收益为w(元),当销售单价定为多少元时,每月的总收益最大?最大总收益是多少元?(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)8.(2023辽宁抚顺望花模拟)2022年12月,神舟十四号载人飞船成功返回地球,航天模型、航天玩具备受青少年的喜爱.某公司在百货大楼销售神舟飞船纪念章,已知神舟飞船纪念章的成本价为每枚8元,销售单价不低于成本价且不高于18元.经销售发现,日销售量y(枚)与销售单价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:销售单价x(元)…91011…日销售量y(枚)…210020001900…(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式;(2)当销售单价定为多少时,销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大?最大利润为多少元?知识点3二次函数与一元二次方程9.在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a,b、c为常数,且a≠0)的图象如下,已知其对称轴为直线x=1,则下列判断错误的是()A.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根B.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根可能为x1=13,x2=C.b2-4ac>0D.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根一定满足x1+x2=110.(2023吉林长春双阳期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的x与y的部分对应值如表:x3.233.243.253.26y-0.06-0.08-0.030.09判断方程ax2+bx+c=0.02的一个解x的取值范围是()A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.2611.(2023湖南衡阳北斗星实验中学月考)抛物线y=x2-2x+0.5如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解为(精确到0.1).

12.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,对称轴为直线x=2.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,-1<x1<0,则x2的取值范围是.13.(2023河南驻马店驿城期中)已知二次函数y=x2-mx+m-3,求证:(1)无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点;(2)当m=1时,函数有最小值-94知识点4二次函数与不等式14.(2023宁夏吴忠韦州中学模拟)在同一平面直角坐标系中,y1=-x2+4x和y2=2x的图象如图所示,则不等式y1>y2的解集是()A.x<0 B.0<x<2 C.x<0或x>2 D.x>215.(2023辽宁葫芦岛绥中利伟实验中学月考)二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知,不等式-x2+bx+c<0的解集为.

16.(2023福建福州鼓楼三牧中学期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c是常数)的图象如图所示,则不等式ax2+(b-2)x+c>0的解集是.

能力提升全练17.(2023天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆围成,且这三边的和为40m.有下列结论:①AB的长可以为6m;②AB的长有两个不同的值可以满足菜园ABCD的面积为192m2;③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中,正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3[变式1·两边有墙](2023湖南衡阳南岳期末)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=m米.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15米和6米,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为()A.193平方米 B.194平方米 C.195平方米 D.196平方米[变式2·一边有墙且有间隔](2023山东菏泽中考)某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药.学校已订购篱笆120米.(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积;(2)在花园面积最大的条件下,A,B分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,已知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹.18.(2023广东湛江模拟)已知二次函数y=-x2+bx+c与一次函数y=mx+n的图象相交于点A(-2,4)和点B(6,-2),则不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是.

19.(2023湖南郴州中考)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m=.[变式1·与x轴有两个交点](2023吉林长春二道力旺实验中学模拟)关于x的函数y=(k-2)x2-3x+1的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.

[变式2·与x轴没有交点](2023四川成都武侯模拟)已知二次函数y=-x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.

[变式3·与坐标轴有三个交点](2023江苏无锡东林中学教育集团期末)把二次函数y=x2+4x-10的图象向左平移1个单位长度,再向上平移m个单位长度(m>0),如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点,那么m应满足的条件为.

20.(2023陕西宝鸡模拟)对于向上抛的物体,当空气阻力忽略不计时,有下面的关系式:h=v0t-12gt2(h是物体离起点的高度,v0是初速度,g是重力系数,取10m/s2(1)球抛出后经多少秒回到起点?(2)球抛出几秒时离起点的高度达到1.8m?(3)球离起点的高度能达到6m吗?请说明理由.21.(2023四川南充中考)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价为m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价为8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价为12元/件,售价为20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与x(件)满足关系式y=80+0.01x2.(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润;(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.注:利润=(售价-成本)×产销数量-专利费素养探究全练22.(2023内蒙古赤峰中考)乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中,中国队包揽了五个项目的冠军,成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.图2是乒乓球台(图1)的截面示意图,一位运动员从球台边缘正上方以28.75cm的高度(OA=28.75cm)击球,将乒乓球向正前方击打到对面球台,乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位:cm),乒乓球运行的水平距离记为x(单位:cm),测得如下数据:水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中,描出表格中各组数值所对应的点(x,y),并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象;(2)①当乒乓球到达最高点时,与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球台上时,到起始点的水平距离是cm;

②求满足条件的抛物线解析式;(3)技术分析:如果只上下调整击球高度OA,乒乓球的运行轨迹形状不变,那么为了确保乒乓球既能过网,又能落在对面球台上,需要计算出OA的取值范围,以利于有针对性的训练.如图2,乒乓球台OB长274cm,球网CD高15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时,击球高度OA的值(乒乓球的大小忽略不计).

第26章二次函数26.3实践与探索答案全解全析基础过关全练1.A∵点A到点O的距离为4,∴A(4,0),把A(4,0)代入y=ax2+245x得16a+245×4=0,∴a=-65,∴y=-65x2+245x,∵y=-65(x2-4x+4-4)=-652.A∵两盏警示灯E、F距水面都是8米,∴两盏警示灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线的两交点的横坐标差的绝对值,∴令-140x2+10=8,解得x1=45,x2=-45,∴两盏警示灯之间的水平距离EF=|x1-x2|=|45-(-45)|=853.10解析由题意得抛物线的顶点为(4,3.6),设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3.6,把(0,2)代入解析式可求得a=-110,∴抛物线的解析式为y=-110(x-4)2+3.6,当y=0时,即-110(x-4)2+3.6=0,解得x14.0≤x≤6且x≠3解析由题意可得,当x=0时,y=53,∴A0,53,∵y=-427x2+89x+53=-4275.解析(1)如图,以点M为坐标原点,建立平面直角坐标系,则点A,E,D的坐标分别为(0,2),(6,0),(6,2.6),由题意知抛物线的顶点为(6,2.6),∴设球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)的抛物线解析式为y=a(x-6)2+2.6,将点A(0,2)代入得2=36a+2.6,∴a=-160,故此时抛物线的解析式为y=-160(x-6)(2)该球员的判断不对,理由如下:当x=9时,y=-160×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能过网.当y=0时,即-160(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+239>18,x2=6-26.17解析易知四边形OAPB为矩形,设P(x,-x2+2x+2),四边形OAPB的周长=2PA+2OA=-2x2+4x+4+2x=-2x2+6x+4=-2x-322+1727.解析(1)当x=160时,y=-3×160+900=420,∵每件政府补贴20元,∴政府每个月补贴420×20=8400(元).(2)根据题意得w=(x-100+20)(-3x+900)=-3(x-190)2+36300,∵-3<0,∴当x=190时,w取得最大值,最大值为36300,∴当销售单价定为190元时,每月的总收益最大,最大总收益是36300元.8.解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把x=9,y=2100和x=10,y=2000代入上式得9k+b-100x+3000.(2)设日销售利润为w元,则w=(x-8)(-100x+3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2+12100,∵-100<0,8≤x≤18,∴当x=18时,w最大值=-100×(18-19)2+12100=12000,故当销售单价定为18元时,销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大,最大利润为12000元.9.D由题图可知选项A、B、C均正确;设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,且x1<1,x2>1,则有1-x1=x2-1,∴x1+x2=2.故选D.10.D由题表可以看出,当x取3.25与3.26之间的某个数时,y=0.02,即这个数是ax2+bx+c=0.02的一个根,故ax2+bx+c=0.02的一个解x的取值范围为3.25<x<3.26.11.1.7或0.3解析∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点的横坐标就是方程x2-2x+0.5=0的两个根,∴令y=0,即x2-2x+0.5=0,解得x1≈0.3,x2≈1.7,∴方程x2-2x+0.5=0的两个近似根是1.7或0.3.12.4<x2<5解析(解法1:利用抛物线的对称性)根据题中图象可知,原点与表示4的点到直线x=2的距离相等,表示-1的点与表示5的点到直线x=2的距离相等,∵-1<x1<0,∴4<x2<5.(解法2:利用不等式的性质)已知抛物线的对称轴为直线x=2,∴x1+x22=2,∴x2=4-x113.证明(1)Δ=(-m)2-4(m-3)=m2-4m+12=(m-2)2+8,∵(m-2)2≥0,∴Δ>0,∴无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点.(2)当m=1时,二次函数的解析式为y=x2-x-2.∵y=x2-x-2=x-122-14.B∵抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x交点的横坐标为0和2,∴不等式-x2+4x>2x的解集为0<x<2,即不等式y1>y2的解集为0<x<2.15.x<-1或x>3解析∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),∴不等式-x2+bx+c<0的解集为x<-1或x>3.16.x<1或x>3解析整理ax2+(b-2)x+c>0得ax2+bx+c-2x>0,即ax2+bx+c>2x,作y=2x的图象,如图,由图象可知,不等式ax2+bx+c>2x的解集为x<1或x>3.能力提升全练17.C设AD的长为xm,则AB的长为40−x2m,当AB=6m,即40−x2=6时,解得x=28,∵AD的长不能超过26m,∴x≤26,故①不正确;∵菜园ABCD的面积为192m2,∴x·40−x2=192,整理得x2-40x+384=0,解得x=24或x=16,∴AB的长有两个不同的值可以满足菜园ABCD的面积为192m2,故②正确;设菜园ABCD的面积为ym2,根据题意得y=x·40−x2=-12[变式1]C∵AB=m米,∴BC=(28-m)米,则S=AB·BC=m(28-m)=-m2+28m,即S=-m2+28m(0<m<28).由题意可知m≥6,28−m∴当m=13时,S最大=195,即花园面积S的最大值为195平方米.[变式2]解析(1)设垂直于墙的一边长x米,围成的矩形面积为S平方米,则平行于墙的一边长(120-3x)米,根据题意得S=x(120-3x)=-3x2+120x=-3(x-20)2+1200,∵-3<0,∴当x=20时,S取得最大值,最大值为1200,∵120-3x=120-3×20=60,∴设计方案为垂直于墙的一边长20米,平行于墙的一边长60米,花园面积最大为1200平方米.(2)设购买牡丹m株,则购买芍药1200×2-m=(2400-m)株,∵学校计划购买费用不超过5万元,∴25m+15(2400-m)≤50000,解得m≤1400,∴最多可以购买1400株牡丹.18.-2<x<6解析根据题意画出函数大致图象如下,观察函数图象知,当-2<x<6时,抛物线在直线的上方,即-x2+bx+c>mx+n,∴不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是-2<x<6.19.9解析∵抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,∴方程x2-6x+m=0有唯一解,即Δ=b2-4ac=36-4m=0,解得m=9.[变式1]答案k<174解析本题易因忽略抛物线表达式的二次项系数不为0而致错.根据题意得(-3)2-4(k-2)>0,[变式2]答案k<-4解析∵二次函数y=-x2-4x+k中a=-1<0,∴该函数的图象开口向下,∵该函数图象的顶点在x轴下方,∴二次函数y=-x2-4x+k的图象与x轴没有交点,∴Δ=(-4)2-4×(-1)×k<0,解得k<-4.[变式3]答案0<m<14且m≠5解析函数解析式可整理为y=(x+2)2-14,由题意可得平移后的函数解析式为y=(x+2+1)2-14+m=x2+6x-5+m,∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点,∴抛物线与x轴有两个交点,即方程x2+6x-5+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=62-4×1×(m-5)>0,解得m<14,当m=5时,函数为y=x2+6x,过坐标原点,不符合题意,∴m应满足的条件为0<m<14且m≠5.20.解析∵初速度为10m/s,g取10m/s2,∴h=10t-12×10t2=10t-5t2(1)当h=0时,即10t-5t2=0,解得t=0(舍去)或t=2,∴球抛出后经2秒回到起点.(2)当h=1.8时,10t-5t2=1.8,解得t=0.2或t=1.8,∴球抛出0.2秒或1.8秒时离起点的高度达到1.8m.(