24.3 圆周角 同步练习

第24章圆24.3圆周角基础过关全练知识点1圆周角的定义1.如图，在图中标出的4个角中，圆周角有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个知识点2圆周角定理2.(2021福建南平期末)已知圆上的三点A，B，C和圆内的一点O，根据∠A与∠O的大小，下列四个选项中能判定点O一定不是该圆圆心的是()3.如图，小李在校运动会上参加足球射门游戏，他站在点O(O为☉O的圆心)处，与球门两端所形成的最大张角是∠AOB，若在点C处测得∠ACB=60°，则∠AOB=°.

4.如图，在四边形OABC中，OA=OB=OC，∠BOC=4∠AOB.求证：∠BAC=4∠ACB.知识点3圆周角定理的推论5.(2022四川广元中考)如图，AB是☉O的直径，C、D是☉O上的两点，若∠CAB=65°，则∠ADC的度数为()A.25° B.35° C.45° D.65°[变式]如图，AB为☉O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则∠BDC的度数为()A.26° B.38° C.52° D.57°6.(2022安徽合肥包河三模)如图，已知点A、B、C、D在☉O上，弦AB、CD的延长线交于☉O外一点E，∠BCD=25°，∠E=39°，则∠APC的度数为()A.64° B.89° C.90° D.94°7.如图，已知△ABC的边AB是☉O的直径，BC边的中点D在☉O上，则△ABC是三角形.

8.(2022山东淄博张店一模)如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在☉O上，两边分别交☉O于A，B两点，若☉O的半径为2，则弦AB的长为.

9.如图，点C在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC交半圆O于点D，连接AD.(1)若∠B=80°，求∠CAD的度数；(2)若AB=8，AC=6，求DE的长.10.(2021广东深圳中考)如图，AB为☉O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE.(1)求证：∠A=∠E；(2)若BC=3，BE=5，求CE的长.知识点4圆内接四边形11.(2021重庆中考A卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是()A.80° B.100° C.110° D.120°12.如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OA，OD，OA∥DC，∠B=55°，则∠AOD的度数为.

13.如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB=AC；(2)求证：AB2=AD·AE；(3)若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长.能力提升全练14.(2022陕西中考)如图，△ABC内接于☉O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=()A.44° B.45° C.54° D.67°15.(2022湖北宜昌中考)如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD=()A.15° B.20° C.25° D.30°16.(2022山东青岛一模)如图，AB为☉O的直径，点C、D、E在☉O上，且AD=CD，∠E=70°，则∠ABC的度数为()A.30° B.40° C.35° D.50°17.(2022四川雅安中考)如图，∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD的度数为.

18.(2021安徽中考)如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O.若∠A=60°，∠B=75°，则AB=.

19.(2022安徽滁州天长一模)如图，BC是☉O的直径，A是☉O外一点，连接AC交☉O于点E，连接AB并延长交☉O于点D.若∠A=30°，则∠DOE的大小是度.

20.(2022山东威海中考)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E.(1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE；(2)若BC=3，☉O的半径为2，求sin∠BAC.21.(2022安徽马鞍山雨山二模)如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，☉O经过点A、C、D交BC于点E，过点D作DF∥BC交☉O于点F.求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；(2)AF=EF.22.(2021安徽中考)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E.(1)M是CD的中点，OM=3，CD=12，求圆O的半径长；(2)点F在CD上，且CE=EF，求证：AF⊥BD.素养探究全练23.如图是一块含30°角(即∠CAB=30°)的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0)的，现有射线CP绕点C从CA方向顺时针以每秒2度的速度旋转到CB方向，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E.(1)当射线CP分别经过△ABC的外心时，点E处的读数是多少?(2)设旋转x秒后，E点处的读数为y，求y与x的函数表达式；(3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE=CE.24.如图①，已知△ABC中，AB=AC，以边AB为直径的☉O交BC于点D，交AC于点E，连接DE.(1)求证：DE=DC；(2)如图②，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G.试探究线段DF、DG的数量关系.

第24章圆24.3圆周角答案全解全析基础过关全练1.B∠1和∠3符合圆周角的定义，∠2的顶点不在圆上，∠4的顶点在圆上，但有一边与圆没有另一个公共点，所以题图中圆周角有∠1和∠3两个.故选B.2.D选项D中，∠BOC≠2∠A，∴点O肯定不是圆心，故选D.3.120解析∵∠ACB是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角，∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°.4.证明∵四边形OABC中，OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心，OA长为半径的圆上，如图.∵∠BOC=4∠AOB，∠BAC=12∠BOC，∠ACB=12∠AOB，∴∠BAC=45.A∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故选A.[变式]C如图，连接AC，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=38°，∴∠BAC=90°-∠ABC=52°，∴∠BDC=∠BAC=52°.故选C.6.B∵∠BCD=25°，∠E=39°，∴∠BAD=∠BCD=25°，∠ABC=∠BCD+∠E=64°，∴∠APC=∠BAD+∠ABC=25°+64°=89°，故选B.7.等腰解析连接AD，∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，又点D是BC边的中点，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.8.2解析连接AO并延长交☉O于点D，连接BD，∵∠P=30°，∴∠D=∠P=30°，∵AD是☉O的直径，∴∠ABD=90°，∴AB=12AD=129.解析(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，又∠B=80°，∴∠CAB=10°.∵OD⊥AC，BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠AOD=∠B=80°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=(180°-80°)÷2=50°，∴∠CAD=∠OAD-∠CAB=50°-10°=40°.(2)∵∠C=90°，AB=8，AC=6，∴BC=AB2−∵OD∥BC，OA=OB，∴OE=12BC=7∴DE=OD-OE=12AB-OE=4-710.解析(1)证明：∵AC∥BE，∴∠E=∠ACD，∵D，C为ACB的三等分点，∴BC=CD=AD，∴∠ACD=∠A，∴∠A=∠E.(2)由(1)知BC=CD=AD，∠A=∠E，∴∠D=∠CBD=∠A=∠E，∴BE=BD=5，BC=CD=3，∠DBE=∠BCD，∴△CBD∽△BDE，∴CBBD=BDDE，即35解得DE=253∴CE=DE-CD=253-3=1611.B∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=80°，∴∠C=100°，故选B.12.70°解析∵四边形ABCD内接于☉O，∠B=55°，∴∠ADC=125°.∵OA∥DC，∴∠AOD=∠ODC.∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=12(180°-∠AOD)∴12(180°-∠AOD)+∠AOD=125°解得∠AOD=70°.13.解析(1)证明：如图，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC=∠2.∵DE平分∠CDF，∴∠1=∠2，又∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠ABC=∠3，又∠4=∠3，∴∠ABC=∠4，∴AB=AC.(2)由(1)知∠3=∠ABE，又∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴ADAB=AB∴AB2=AD·AE.(3)由(2)知AB2=AD·AE.∵AB=AC=3cm，AD=2cm，∴32=2AE，∴AE=92cm∴DE=AE-AD=92-2=52能力提升全练14.A连接OB，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∵OA=OB，∴∠OAB=12×(180°-92°)=44故选A.15.B∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=110°，∴∠A=70°，∴∠BOD=2∠A=140°.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，∴∠OBD=20°，故选B.16.B如图，连接OD，BD.∵AD=CD，∴∠ABD=∠CBD，∵∠DOB=2∠E=140°，∴∠OBD=∠ODB=20°，∴∠ABC=2∠OBD=40°，故选B.17.144°解析∵∠DCE=72°，∴∠BCD=180°-∠DCE=108°，∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠A=180°-∠BCD=72°，由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=144°.18.2解析如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=75°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2.19.120解析如图，连接BE，DC，∵BC是☉O的直径，∴∠BEC=90°，∴∠AEB=180°-90°=90°.∵∠A=30°，∴∠ABE=90°-∠A=60°，∴∠DBE=180°-∠ABE=120°.∵四边形EBDC是圆内接四边形，∴∠ECD+∠DBE=180°，∴∠ECD=180°-∠DBE=180°-120°=60°，∴∠DOE=2∠ECD=120°.20.解析(1)证明：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠ADE=∠ABC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE.(2)如图，连接CO并延长交☉O于点F，连接BF，则∠FBC=90°.在Rt△BCF中，CF=4，BC=3，∴sinF=BCCF=3∵∠F=∠BAC，∴sin∠BAC=3421.证明(1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B.∵DF∥BC，∴∠ADF=∠B.∵∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形.(2)如图，连接AE.∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，∴∠AEF=∠B.∵四边形AECF是☉O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF=180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B=180°，∴∠EAF=∠B，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.22.解析(1)连接OD，如图1.∵M是CD的中点，CD=12，∴DM=12CD=6，OM⊥CD∴∠OMD=90°，在Rt△OMD中，OD=OM2+DM2=32+(2)证明：连接AC，延长AF交BD于G，如图2.∵AB⊥CD，CE=EF，∴∠FAE=∠CAE，∵∠CAE=∠CDB，∴∠FAE=∠CDB，在Rt△BDE中，∠EDB+∠B=90°，∴∠FAE+∠B=90°，∴∠AGB=90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD.素养探究全练23.解析(1)∵∠BCA=90°，∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆，当射线CP过△ABC的外心，即过O点时，如图1，∵∠CAB=30°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠BCE=60°，∴∠BOE=120°，即点E处的读数为120.(2)旋转x秒后，∠BCE的度数为(90-2x)°，∠BOE的度数为(180-4x)°，故可得y与x的函数表达式为y=180-4x.(3)证明：如图2，当旋转7.5秒时，∠PCA=(2×7.5)°=15°，∴∠EBA=∠ECA=15°，∠BCE=75°，∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，∴BE=CE. 图1 图224.解析(1)证明：∵四边形ABDE内接于☉O，∴∠B+∠AED=180°，∵∠DEC+∠AED=180°，∴∠DEC=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠DEC=∠