新高考数学二轮复习 易错点16 椭圆（解析版）

易错点16椭圆易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道SKIPIF1<0之间的大小关系和等量关系：易错点2：椭圆的几何性质易错点3：直线与椭圆的位置关系忽视直线斜率为0或不存在的情况在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.易错点4：求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。题组一：椭圆的定义与焦点三角形1.（2019年全国文科1卷）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】法1：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1B中，由余弦定理的推论得SKIPIF1<0,在ΔAF1F2中，由余弦定理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0法2：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n，由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1F2和ΔBF1F2，由余弦定理得SKIPIF1<0又因为∠AF2F1和∠BF2F1，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,消去cos∠AF2F1和cos∠BF2F得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<02.（2019年全国3卷）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若△为等腰三角形，则的坐标为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设M(m,n),m,n>0,由题意得SKIPIF1<0，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|>|MF2|,ΔMF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,即有SKIPIF1<0故答案为SKIPIF1<03.(2013新课标1)已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的方程为________【答案】SKIPIF1<0【解析】因为圆P与圆M外切并与圆N内切，所以SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为SKIPIF1<0的椭圆（左顶点除外），其方程为：SKIPIF1<0题组二：椭圆的标准方程4.（2019新课标2卷）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】由题意可知:SKIPIF1<0故选D5.（2017新课标1卷）已知椭圆C：SKIPIF1<0（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，SKIPIF1<0），P4（1，SKIPIF1<0）中恰有三点在椭圆C上，则C的方程是______________。【解析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点关于y轴对称，故由题设知C经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．又由SKIPIF1<0知，C不经过点SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在C上．因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故C的方程为SKIPIF1<0．6.（2014新课标1卷）已知点SKIPIF1<0（0，-2），椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆的焦点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程是____________.【解析】设F(c,0),由条件知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故椭圆E得方程为SKIPIF1<0题组三：椭圆的几何性质7．（2021年全国乙卷）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的上顶点，若SKIPIF1<0上的任意一点SKIPIF1<0都满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，可以看成以SKIPIF1<0为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点.即SKIPIF1<0至多一个解，消去x得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.8．（2021年浙江卷）已知椭圆SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若过SKIPIF1<0的直线和圆SKIPIF1<0相切，与椭圆的第一象限交于点P，且SKIPIF1<0轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【解析】法一（解析几何角度）：设切线方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又与椭圆的第一象限交于点P，SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．法二（平面几何角度）：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．9．（2017新课标3卷）已知椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，且以线段SKIPIF1<0为直径的圆与直线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的离心率为（）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意可得，原点到直线的距离SKIPIF1<0所以椭圆C的离心率SKIPIF1<0，故选A.题组四：直线与椭圆的位置关系10.（2013新课标2卷）过椭圆M：SKIPIF1<0右焦点的直线SKIPIF1<0交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为SKIPIF1<0，M的方程为_________【解析】把右焦点(c,0)代入直线SKIPIF1<0得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0.故M的方程式为SKIPIF1<0．11.（2013新课标1卷）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点。若SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1 C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0,故E的方程式为SKIPIF1<0．12．（2021年新高考1卷）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）设点T在直线SKIPIF1<0上．过SKIPIF1<0的两条直线分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点和P，Q两点，且SKIPIF1<0，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意可知：轨迹C为实轴为2，焦距为SKIPIF1<0的双曲线的右支．

从而可以直接写出轨迹方程为SKIPIF1<0．（2）方法一：设T为SKIPIF1<0，直线TAB为SKIPIF1<0.

又SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得：

SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0.

直线TPQ斜率为t，则有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.

由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0.方法二：设T为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，

代入轨迹C中可得：SKIPIF1<0．

整理得SKIPIF1<0．

设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

设直线TPQ为SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.1．已知椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左焦点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选C．2．已知椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0）的离心率为SKIPIF1<0，则（）A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故选B．3.已知F1，F2是椭圆C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)【答案】D【解析】直线AP的方程为SKIPIF1<0由∠F1F2P=1200，|PF2|=|F1F2|=2c,则SKIPIF1<0代入直线AP的方程得SKIPIF1<0,故所求椭圆得离心率为SKIPIF1<04.已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点。若SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1 C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0,故E的方程式为SKIPIF1<0．5．设A，B是椭圆C：SKIPIF1<0长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】当SKIPIF1<0时，焦点在SKIPIF1<0轴上，要使C上存在点M满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，焦点在SKIPIF1<0轴上，要使C上存在点M满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选A．6.设是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为直线上一点，SKIPIF1<0是底角为的等腰三角形，则SKIPIF1<0的离心率为_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，SKIPIF1<0是底角为的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=300,所以∠PFA=600,∠F2PF1=300,SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<07.设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，M是C上一点且SKIPIF1<0与x轴垂直，直线SKIPIF1<0与C的另一个交点为N.且直线MN的斜率为SKIPIF1<0，则C的离心率为_____【答案】SKIPIF1<0【解析】把SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<08.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的中心为原点，焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，离心率为SKIPIF1<0。过F1的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的周长为16，那么SKIPIF1<0的方程为。【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程是SKIPIF1<09.已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为SKIPIF1<0，则k的取值范围是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，因为点M(1，m)在椭圆内部，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其左右交点，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，且SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，（1）若SKIPIF1<0是上顶点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0；（3）证明：对于任意SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的直线有且仅有一条.【答案】（1）；（2）【解析】（1）有题可知：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIP