新高考数学二轮复习 易错点9平面向量（解析版）

易错点09平面向量平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率．易错点1：忽略零向量；易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量SKIPIF1<0与实数a·b；易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”；(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.易错点4：向量数量积SKIPIF1<0的几何意义中SKIPIF1<0的叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分.易错点5：向量数量积SKIPIF1<0>0并不等价于向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角；易错点6：三点共线问题1.若A、B、C三点共线，且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<02.SKIPIF1<0中SKIPIF1<0确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定SKIPIF1<0（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程SKIPIF1<0，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于SKIPIF1<0的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于SKIPIF1<0的方程，再进行求解3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使SKIPIF1<0，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.易错点7：向量与三角形的综合(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.题组1：线性运算1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))【答案】A【解析】SKIPIF1<0故选A2．(2015高考数学新课标1理科)设D为QUOTEABC所在平面内一点SKIPIF1<0，则 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解析：由题知SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故选A．3.（2014新课标1）设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的三边SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0,故选A4.(2013新课标2理科)已知正方形的边长为,为的中点,则．【答案】2【解析】在正方形中，,,所以题组2：共线定理的应用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0内．A选项，当SKIPIF1<0时，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此周长SKIPIF1<0不为定值，所以选项A错误；B选项，当SKIPIF1<0时，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．由图可知，线段SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离处处相等，SKIPIF1<0的面积是定值，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，所以选项B正确；C选项，当SKIPIF1<0时，分别取线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．很显然若点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合时，均满足题意，所以选项C错误．D选项，当SKIPIF1<0时，分别取线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．此时，有且只有点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点重合时，满足题意.所以选项D正确．因此，答案为BD.6．（2020年江苏卷）在△ABC中，SKIPIF1<0D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若SKIPIF1<0（m为常数），则CD的长度是________．【答案】0或SKIPIF1<0.【解析】∵SKIPIF1<0三点共线，∴可设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴根据余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0，不合题意，舍去.故答案为：0或SKIPIF1<0.7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得所以，所以其中，所以的最大值为，故选A．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线的距离为所以，所以的最大值为，故选A．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系设根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，．∵∴，．两式相加得：(其中，)当且仅当，时，取得最大值3．题组3:共线向量的坐标运算8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．9．(2015高考数学新课标2理科)设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不平行，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则实数SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．题组4：垂直向量10．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夹角为45°，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则k=__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可得：SKIPIF1<0，由向量垂直的充分必要条件可得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题组5：向量的数量积运算11．（2021上海卷）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为3，求SKIPIF1<0________．【答案】9【解析】由题意得:SKIPIF1<0.12. （2021新高考2卷）已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，平方可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题组6：求夹角13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故选：D．14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为 ()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．15．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选A.题组6：求向量的模17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0为单位向量，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<018．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．题组8：求最值19.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则SKIPIF1<0的取值范用是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的模为2，根据正六边形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范围是SKIPIF1<0，结合向量数量积的定义式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘积，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.20.（2017新课标2卷）已知SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一点，则SKIPIF1<0的最小是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】以BC为SKIPIF1<0轴，以BC边上的高为SKIPIF1<0轴建立坐标系，则SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A2．正方形SKIPIF1<0中，P，Q分别是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：C．3．如图，平面四边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：C.4．已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.5．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】由题设，SKIPIF1<0.故选：B.6．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．5 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0.故选：D．8．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0