初三-圆教学课件

圆

一、上节回顾

二、本节内容

知识点一：圆的有关性质

题型一：圆的基础概念

圆的概念：在一个平面内，线段04绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点4所形成的图形叫圆.这

个固定的端点。叫做圆心，线段04叫做半径.以。点为圆心的圆记作。0,读作圆O.

特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.

确定圆的条件：

⑴圆心；

⑵半径，

⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.

补充知识：

1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆.

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦.

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以力、B为端点的弧记作⑪，读作弧A8.在同圆或

等圆中，能够重合的弧叫做等弧.

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，

小于半圆的弧叫做劣弧.

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

弦心距、半径、弦长的关系：（考点）

半径2二弦心距2+《弦长）2

1

【例1-1】（2017费县期末）下列命题中正确的有（）

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；

②半径不是弦，所以②错误；

③直径是最长的弦，正确；

④弧是半圆，只有180。的弧才是半圆，所以④错误，

故选A.

【例1-2]（2019汕头市期末）已知。O中最长的弦为8cm，则。O的半径为（）cm.

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【详解】：。0中最长的弦为8cm,即直径为8cm,

OO的半径为4cm.

故选：B.

【名师点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键.

【例1-3】（2018大庆市期末）下列说法错误的是（）

A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧

C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧

【答案】B

【解析】试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；

B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；

C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；

D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确.

故选B.

举一反三：

1.下列命题中正确的是（）

A.过圆心的线段叫做圆的直径B.面积相等的两个圆是等圆

C.大于半圆的弧叫劣弧D.平分弦的直径垂直于这条弦

2

【答案】B

【详解】A、宜径是经过圆心的弦，两端点要在圆上，错误；

B、圆的面积相等，则它们的半径相等，是等圆，正确；

C、大于半圆的弧叫优弧，错误；

D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；

故选B.

【名师点睛】本题考查了直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理.

2.（2019余杭区期末）已知AB是半径为5的圆的一条弦，贝U4B的长不可能是（）

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【详解】因为圆中最长的弦为直径，所以弦长LW10.

故选:D.

【名师点睛】考查圆的性质，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关健.

题型二：垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

常见辅助线做法（考点）：

1）过圆心，作垂线，连半径，造/?丁△,用勾股，求长度；

半径2二弦心距2+《弦长）2

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.

【例2-1】（2019•广东铁一中学初三期中）将半径为3c机的圆形纸片沿A3折叠后，圆弧恰好能经过圆心

O,则NAOB的度数为（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

【答案】B

3

【详解】过。点作0CLA8,垂足为。，交。。于点C,

由折叠的性质可知，0D=|0C=,

由此可得.在R/AO。中，/。4。=30。，

同理可得NO8Z>30。.

在AAOB中，由内角和定理，得：Z,4OB=180o-ZOAD-ZOBD=\20°.

【名师点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30。

的直角三角形.

【例2-2］（2019赣州市期中）下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦

B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴

C.相等的弧所对弦相等

D.长度相等弧是等弧

【答案】C

【详解】解：A.错误.需要添加此弦非直径的条件；

8.错误.应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；

C.正确.

D错误.长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；

故选C.

【名师点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

举一反三：

1.（2018•山东胜利一中初三期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,则圆弧形桥拱所在

圆的半径为（）

4

A.6mB.8mC.10mD.12m

【答案】c

【解析】【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O,

连接OA.根据垂径定理，得AD=8,

设圆的半径是r,根据勾股定理，

得P=82+（r-4）2,

解得r=10m.

故选C.

【名师点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理.解题的关键是构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角

形进行有关的计算.

2.（2018寿光县期末）已知：如图，。0的直径CD垂直于弦AB,垂足为P,且AP=4cm,PD=2cm,则

©0的半径为（）

A.4cmB.5cmC.4&cmD.2j5cm

【答案】B

连结0A,如图，设O的半径为R,YCDLAB,

.,.ZAPO=90°BP，在RsOAP中，；0P=0D-PD=r-2,OA=r,AP=4,

...（1-2）2+42守,解得尸5,即O的半径为5cm.故选B.

【名师点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、勾股定理.

题型三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

5

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等。

【例3-1］（2018燕山区期末）如图，圆心角乙4。8=25。，将弧旋转〃。得到弧8,则NC。。等于（）

A.250B.25°+n°C.50°D.50°+n°

【答案】A

【解析】试题解析：•••将筋旋转n。得到先，

.Z—\/-X

­­AB=CD>

.♦.NDOC=NAOB=25°

故选A.

【例3-2】如图，已知是。。的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，zfiOC=40°,那么N40E=（）

A.40°B,60°C.80°D.1200

【答案】B

【详解】：D、C是劣弧EB的三等分点，ZBOC=40°

二ZEOD=ZCOD=ZBOC=40°

ZAOE=60°.

故选：B.

【名师点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等.

【例3-3］（2018泗阳县期中）下列命题中，真命题是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等

B.面积相等的两个圆是等圆

C.三角形的内心到各顶点的距离相等

6

D.长度相等的弧是等弧

【答案】B

【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题：

8、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题；

C、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题；

。、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，是假命题，

故选：B.

【名师点睛】本题考查命题与定理的知识，解题关键是圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质,

属于基础定义，难度不大.

题型四：圆周角定理（考点）

圆周角概念：顶点在圆匕并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

圆心角=）圆周角

推论1:在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

【例4-1]（2018泗阳县期末）如图，AB是。O的直径，BC是。O的弦，已知NAOC=80。，则NABC

的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【详解】-AC=AC，

：.ZABC=-ZAOC=-x80°=40°,

22

故选c.

【名师点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

7

于这条弧所对圆心角的一半”是解题的关键.

【例4-2】（2017安定县期末）如图，已知是。0的直径，Z.D=40°,贝此CAB的大小为（）

C

D

A.20°B.40°C.50°D.70°

【答案】C

【解析】；/D=40°,

.*.ZB=ZD=40°.

：AB是。的直径，

；.NACB=90。，

ZCAB=90°-40°=50°.

故选：C.

【名师点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

【例4-3】（2017余杭区期中）如图所示的暗礁区，两灯塔A,B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使

航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A,B的视角/ASB必须（）

A.大于60。B.小于60。C.大于30。D.小于30。

【答案】D

【解析】试题解析：连接OA,OB,AB,BC,如图：

VAB=OA=OB,即AAOB为等边三角形,

:.NAOB=60°,

8

VZACB与NAOB所对的弧都为部,

ZACB=-ZAOB=30°,

2

又/ACB为4SCB的外角，

.,.ZACB>ZASB,BPZASB<30°.

故选D

【例4-4】（2018苏州市期中）如图，AB是。。的直径，C,。是。。上位于A8异侧的两点.下列四个

角中，一定与互余的角是（）

D

A.ZADCB.ZABDC.NBACD.ZBAD

【答案】D

【解析】；/ACD对的弧是俞，前对的另一个圆周角是NABD,

/.ZABD=ZACD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），

故选B.

题型五：圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆

叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角.

【例5-1］（（2016萧山区期中）如图，四边形ABCD内接于。。，AB为。。的直径，点C为弧8。的中

点，若/D48=40。，则N43C=.

【答案】70。

【解析】连接4C,：点C为弧8。的中点，.•./。184/048=20。,

;AB为。。的直径，/4CB=90。，AZABC=70°,

9

故答案为：70°.

【名师点睛】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.

【例5-2］（2016萧山区期中）如图，正五边形ABCDE为内接于。O的，则/ABD=.

D

O.4^-------

【答案】72°.

【解析】连接AO、DO,根据正五边形的性质求出NAOD,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列

式计算即可得解.

解：如图，连接AO、DO,

1•五边形ABCDE是正五边形，

.,.ZAOD=|2x360°=144°,

・・・ZABD=-ZAOD=ix144°=72°.

22

知识点二：点和圆的位置底

题型一：点和圆的位置关系

位置关系哉性质及判定

10

点在圆外点在圆的外部d>r0点P在。。的外部.

点在圆上点在圆周上d=ro点P在。。的圆周上.

点在圆内点在圆的内部d<r0点P在。。的内部.

【例1-1】（2018•满城县期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=4,以C点为圆心，2为半径作。C,

则AB的中点O与。C的位置关系是（）

A.点O在。C外B.点O在OC上C.点。在。C内D.不能确定

【答案】B

【详解】解：连接OC,由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得：

OC=^AB=2=r,故点O在。C上，

故选B.

【名师点睛】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可直角三角形

斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离d,则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时,

点在圆内.

【例1-2】（2016•邯郸市期末）R2ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心，AC为半径

作。A,那么斜边中点D与。A的位置关系是（）

A.点D在。A外B.点D在。A上C.点D在。A内D.无法确定

【答案】A

【解析】根据勾股定理求得斜边4B=V4T16=2炳,

则40=V5,

•­•V5>2,

二点在圆外.

故选A.

11

【例1-3］（2019•雨花台区期末）已知点A在半径为r的。O内，点A与点O的距离为6,则r的取值范

围是（）

A.r<6B.r>6C.r>6D.r<6

【答案】B

【详解】•••点4在半径为r的。。内，

:,。4小于r,

而04=6,

r>6.

故选：B.

【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的美系，反过来已

知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

题型二：三点定圆的方法

1）经过点4的圆：以点4以外的任意一点。为圆心，以。4的长为半径，即可作出过点4的圆，这样的圆有

无数个.

2）经过两点4、B的圆：以线段4B中垂线上任意一点。作为圆心，以04的长为半径，即可作出过点4、B的

圆，这样的圆也有无数个.

3）经过三点时:

情况一：过三点的圆：若这三点4、B、C共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若4、8、C三点不共线时，圆心是线段4B与BC的中垂线的交点，而这个交点。是唯一存在的,

12

这样的圆有唯一一个.

三点定圆的画法：

1）连接线段AB,BC。

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为0,此时OA=OB=OC,于是点。为圆心，以

0A为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

【例2-1】（2017•天桥区期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原

来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）

A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块

【答案】B

【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.

【名师点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，

难度一般.

【例2-2］（2019•慈溪市期末）数学课上，老师让学生尺规作图画RtAABC,使其斜边AB=c,一条直角

边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断NACB是直角的依据是（）

a

13

A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90。的圆周角所对的弦是直径

【答案】B

【解析】由作图痕迹可以看出0为AB的中点，以。为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为

半径花弧与圆0交于一点C,故/ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断/ACB是直角的依据

是：直径所对的圆周角是直角.

故选：B.

【考点】作图一复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理.

题型三：三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫

做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等：

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无

数个，这些三角形的外心重合.

3）外接圆圆心和三角形位置关系：

1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；

2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；

3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

【例3-1】（2018•滨河新区期末）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（

14

【答案】c

【详解】如图所示，连接OB,OC,过。作ODLBC；

.♦.BD、，

•••△ABC是正三角形，

.•.ZBOC=^=120°,

3

VOB=OC,

二NBOD=m=60。，

2

.,.ZOBD=30°,0B=-^-=^=v-

COS30°V33

2

故选c.

【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的宜角三角形.

【例3-2】有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆：③三角形的外心到三角形各顶点

的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；

②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；

③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故

正确；

④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确.

故选B.

【例3-3】（2019•重庆市期中）如图，0是△ABC的外心，则41+42+43=（）

15

A.60°B.75°C.90°D.1050

【答案】C

【详解】如图，

vOA=OB,

:.z.3=z4,

同理，z.1=45,z.2=z.6>

z.3+z.4+z.1+z.5+z.2+z.6=180°»

Azl+z24-z3=90°,

故选C.

【名师点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解

题的关键.

知识点三：直线和圆的位置关系

题型一：直线与圆的位置关系

设。。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表：

位置

图形定义性质及判定

关系

相离直线与圆没有公共点d>ro直线，与。。相离

直线与圆有唯一公共点,直线叫

相切d=ro直线/与。。相切

鱼做圆的切线，公共点叫做切点

16

17

【例1-3]（2019•中山市期末）在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标为（3,4）,半径为5,那么y轴与（DP

的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.以上都不是

【答案】C

【详解】解：•••OP的圆心坐标为（3,4）,

•••0P到y轴的距离d为3

•；d=3<r=5

；.y轴与。P相交

故选：C.

【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定

方法是解决问题的关键.

【例1-4]（2017•贵州中考真题）及△ABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径作

圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）

A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm

【答案】B

【解析】试题分析：RtAABC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm；

由勾股定理，得:AB2=32+42=25,

AB=5；

又〈AB是。C的切线，

ACD±AB,

・・・CD=R；

1i

VSAABC弓AC・BC=|AB”；

/.r=2.4cm,

故选B.

题型二：切线的性质及判定

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

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【答案】B

【详解】解：连接OA,0B,

VPA,PB是。O的切线，

APAXOA,PB1OB,

VZACB=55°,

/.ZAOB=110°,

二/APB=3600-90o-90o-110°=70°.

【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出NAOB的度

数.

【例2-3】（2018•周口市期末）如图，PA,PB分别与。O相切于A,B点，C为。O上一点，ZP=66°,

A.57°B.60°C.63°D.66°

【答案】A

【详解】连接。4,OB.

,：PA,分别与。。相切于4,B点，，4P=90°,ZOBP=90°,：.ZAOB=360°-90°-90°-66°=114°,

由圆周角定理得：ZC=^ZAOB=51°.

20

21

PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,

PCD的周长=8,

故选C.

【名师点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.

题型三：三角形内切圆

1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形

叫做圆的外切三角形.

2,内心和外心的区别：

外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。

性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。

性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

3、直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：（具体内容见文件夹中ppt）

【例3-1]（2019•宁河区期末）在RM4BC中，ZC=90°,AB=6,A4BC的内切圆半径为1,则44BC的

周长为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

22

【详解】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得与AC+BC-AB）=I，

AC+BC=8-

则三角形的周长=8+6=14.

故选：B.

【名师点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟记直角三角形的内切圆的半径公式：直角三角形的

内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解答此题的关键.

【例3-2】（2019•广益市期末）如图,O。内切于44BC,切点分别为。㈤已知NED1=55°,〃=60°,

连接。瓦。匕。瓦DF,那么NB等于（）

A.55°B.50°C.60°D.65°

【答案】B

【详解】解：・・・E,F是圆的切点，

Z.OE1AB,OF1AC,

・♦・ZAEO=ZAFO=90°,

ZEOF=2ZEDF=2x55°=110°,

.*.Zi4=180°-110o=70°,

，乙B=180°-70°-60°=50°

故选择：B.

【名师点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周

角定理等知识点的理解和掌握，能求出NB的度数是解此题的关键.

【例3-3]（2019•云南中考真题）如图，△ABC的内切圆。O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,

且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）

23

24

>正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

>正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

半径、边心距，边长之间的关系：

半径2=边心距2+4边长）2

画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：

1）量角器

（作法操作复杂，但作图较准确）

r

方法简述：等边一用形的中心％为120-.通

过It角I■（依次htWiar.的图.（《如遇）

2）量角器+圆规

（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）

方法简述：止五边形的中心他为72-•通过琳仙赛

品取72",通过IMI班依次收取等长短，

（以向器♦耀现）

3）圆规+直尺

（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…）

依照上述方法，还可以画出正十六边形、正三十二边形

【典型例题】

【例1-1X2019•厦门市期中）如图，圆。与正五边形ABCDE的两边4E,CD分别相切于4c两点，则NOCB=

25

__________度.

【答案】18

【分析】根据NOCB=NBCD-/OCD,求出/BCD,NOCD即可；

【详解】解：:。。与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点，

A0A1AE,OC1CD,

.•.ZOAE=ZOCD=90°,

又•.•NBCD=108°,

.,.ZOCB=108o-90°=18°

故答案为18.

【名师点睛】本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关健是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

【例1-2】（2019•曲靖市期中）正三角形ABC内接于。。，③。的半径为6,则这个正三角形的面积为

【答案】27g

【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出NOBD=30。，OD、BD、BC

的值，然后根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：连接AO并延长交BC与点D连接BO,

•••正三角形ABC内接于（DO,

...点O即是三角形内心也是外心,

/.ZOBD=30°,BD=CD」BC,

2

26

.4.OD=-OB=3,

；.AD=9,BD=V62-32=3V3,

.\BC=6V3.

•••这个正三角形的面积为：1X6V3X9=2773.

故答案为：27vl

【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含30。角的直角三角形的性质，勾股定理，利用正多边形内

外心的特殊关系得出NOBD=30。，BD=CD是解题关键.

【例1-3】（2019•莱芜市期中）如图，正六边形ABCDEF内接于。0,若。。的半径为2,则△ADE的周

长是.

【答案】6+2国

【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半件求得斜

边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长.

【详解】连接OE,

,/多边形ABCDEF是正多边形，

ZDOE=—=60°,

6

ZDAE=-ZDOE=-X60°=30°,ZAED=90°,

22

VOO的半径为2,

...AD=2OD=4,

.*.DE=|AD=|x4=2,AE=V5DE=2W，

二AADE的周长为4+2+273=6+273.

27

28

NADE的度数为一.

AB

【答案】84°.

【分析】据正多边形的内角，可得NABE、NE、ZCAB,根据四边形的内角和，可得答案.

【详解】正五边形的内角是空管则=108。，

■:AB=BC,

・・・NC48=36。，

（6-2）x180。

正六边形的内角是NABE=/七==120o,

6

,/ZADE+ZE+ZABE+ZCAB=360°,

二ZAD£=360°-120°-120°-36°=84°,

故答案为84°.

【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内

角是解题关键.

题型二：圆锥相关知识

设。。的半径为R，n。圆心角所对弧长为I,

弧长公式：1=鬻（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）

180

扇形面积公式：S肩形=白兀/?2=：出

/普/iz3602

母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

圆锥体表面积公式：S=TIR2+TIRI（［为母线）

备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积

【例2-1］（2018•苏州市期末）.如图，圆锥侧面展开得到扇形,此扇形半径CA=6,圆心角NACB=120。,

则此圆锥高OC的长度是.

29

B

【答案】4V2

【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出0A,最后用勾股定理

即可得出结论.

【详解】设圆锥底面圆的半径为r,

VAC=6,ZACB=120°,

/.r=2,即：0A=2,

在RtAAOC中，OA=2,AC=6,根据勾股定理得，0©=/心一0Q4VL

故答案为：4企.

【名师点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出OA的长是解

本题的关键.

【例2-2】（2018•锦州市期末）己知扇形的弧长为2兀，圆心角为60。，则它的半径为.

【答案】6.

【解析】分析：设扇形的半径为r,根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.

详解：设扇形的半径为r,

根据题意得：霭=2乃，

lo（J

解得：r=6

故答案为：6.

【例2-3】（2017•恩施市期末）如图，用一个圆心角为120。的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底

面圆的半径为1cm,则这个扇形的半径是cm.

30

31

'-AC=V30C=10V3,

^AB=20V3,

又•/弧AB的长用攀=?兀，

-20V3»7.25米~15步.

故答案为：15.

【点评】考查了弧长的计算，垂径定理的应用，熟记弧长公式是解题的关键.

2.（2019•宿迁市期末）用半径为10cm,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底

面圆半径为cm.

【答案】7

【解析】分析：圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.

详解：设圆锥的底面圆半径为r,依题意，得

解得r=ycm.

故答案为：Y-

题型三：常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：（考点）

①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法

【例3-1】（2018•西宁市期末）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,将RtAABC绕点A逆

时针旋转30。后得到RtZ\ADE,点B经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积为.

【分析】先根据勾股定理得到AB=2&,再根据扇形的面积公式计算出S承彩ABD,由旋转的性质得到

RsADE=RtAACB,于是S阴影部分=SAADE+S施形ABD-SAABC=S崩形ABD.

【详解】VZACB=90°,AC=BC=2,

AAB=2V2，

32

・Q一307rx（2&）“2n

••、扇形ABD-----------------=—，

3603

又：RSABC绕A点逆时针旋转30。后得到RtAADE,

ARtAADEgRSACB,

S用步部，＞=SAADE+S1彩ABD-SAABC=S4彩ABD=g，

故答案为：拳

【名师点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到Sw-=S/ABD是解题的关键.

【例3-2]（2019•咸阳市期中）如图，正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心，AB的长为半径,

作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和兀）.

【解析】分析：正六边形的中心为点O,连接OD、OE,作OHJ_DE于H,根据正多边形的中心角公式求

出/DOE,求出OH,得到正六边形ABCDEF的面积，求出NA,利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积,

结合图形计算即可.

详解：正六边形的中心为点O,连接OD、OE,作OHLDE于H,

.•.OD=OE=DE=1,

.•.OH—,

2

...正六边形ABCDEF的面积1x^x6=^,

222

ZA-(6-2)X180°=12Q°,

6

，扇形ABF的面积=1竺应=£,

33

...图中阴影部分的面积=迪《，

23

故答案为：迪

23

【例3-3]（2018•连云港市期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画

弧，交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是（结果保留兀）

【分析】根据SWLSAABD-SWOAE计算即可；

【详解】S6I|=SAABD-S“彩BAE=；X4x4-i^^~=8-27r,

2360

故答案为8-2兀

【名师点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分

面积.

【例3-4]（2018•黄石市期末）如图，直角/4BC中，AA=90°,NB=30。，4C=4,以A为圆心，4C长

为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是.（结果保留兀）

【答案】4v1兀

【解析】分析：连结AD.根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-:角形ACD的面积-扇形ADE

的面积，列出算式即可求解.

详解：连结AD.

,直角AABC中，NA=90°,ZB=30°,AC=4,

，NC=60。，AB=4小

VAD=AC,

34

・・・三角形ACD是等边三角形,

,ZCAD=60°,

工ZDAE=30°,

，图中阴影部分的面积=4X4V5：2-4x273-2-

3603

故答案为：4V5—1兀.

名师点睛：此题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面

积计算.

【例3-5］（2019•保定市期末）如图，RtAABC,ZB=90°,ZC=30°,O为AC上一点，OA=2,以O为

圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是

【答案】|V3—，

【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案.

【详解】；/B=90°,NC=30°,

二ZA=60°,

•；OA=OF,

.♦.△AOF是等边三角形，

/.ZCOF=120o,

VOA=2,

/.扇形OGF的面积为：良咚兀

3603

VOA为半径的圆与CB相切于点E,

35

36

E

・・•四边形ABCD是菱形，

,ZB=ZD=60°,AB=AD=DC=BC=1,

.,.ZBCD=ZDAB=I2O°,

.\Z1=Z2=6O°,

•••△ABC、△ADC都是等边三角形，

:.AC=AD=1,

VAB=I,

,△ADC的高笔，AC=1,

•・•扇形BEF的半径为1,圆心角为60°,

/.Z4+Z5=60°,Z3+Z5=60°,

:.Z3=Z4,

设AF、DC相交于HG,设BC、AE相交于点G,

在^ADH和^ACG中，

z3=z4

AD=AC，

zD=Z1=60°

:.AADH^AACG(ASA),

・・・四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，

图中阴影部分的面积是：SMEFFACDXIX畀

故答案为：合?

【名师点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD

的面积等于△ABD的面积是解题关键.

举一反三：

1.(2018•保定市期末)如图，已知C,D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2,

ZCOD=120°,则图中阴影部分的面积等于.

37

D

c

【答案】

【解析】试题解析：图中阴影部分的面积=1、22-强北

2360

=2兀4

3

答：图中阴影部分的面积等于|兀

2.（2018•武威市期末）如图，AB是。O的切线，B为切点，AC经过点O,与。O分别相交于点D、C,

若NACB=30。，AB=V5，则阴部分面积是.

【分析】先求出NAOB,OB,然后利用S掰=SAA°B-S嬉OBD计算即可■

【详解】连接OB,

VAB是AO切线,

AOBIAB,

VOC-OB,NC=30。，

/.ZC=ZOBC=30°,

ZAOB=ZC+ZOBC=60°,

/.ZA=30o

在RsABO中，；NABO=90。，AB=V5，NA=30。，

・CB.后

3

38

39

故答案为4--^7t.

9

4.（2018・四平市期末）如图，边长为6cm的正三角形内接于。O,则阴影部分的面积为（结果保留兀）.

【答案】（4兀-375）cm2

【分析】连接OB、OC,作OHLBC于H,根据圆周角定理可知NBOC的度数，根据等边三角形的性质

可求tilOB、OH的长度，利用阴影面积=S骑彩OBC-SAOBC即可■得答案

【详解】：连接OB、OC,作OHLBC于H,

贝ijBH=HC=BC=3,

•.,△ABC为等边三角形，

.♦.NA=60°,

由圆周角定理得，NBOC=2/A=120。，

：OB=OC,

:.ZOBC=30°,

/.OB=BH=2>/3，OH=V3.

cos，OBC

•••阴影部分的面积一^^一2百刃…g,

A

故答案为：（4兀-3遍）cm?.

【名师点睛】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.

40

41

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【答案】D

【详解】由图可知，OA=10,OD=5,

在RtAOAD中，

VOA=10,OD=5,AD=VO/12—OD2=5>/3,

r.tanZl=