四川省广安市广安友实学校、遂宁绿然国际学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

高2023级2024年秋季半期考试数学试题考试时间：120分钟考试分数：150分注意事项：1．本试题卷共2页，满分150分，考试时间120分钟2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置3．全部答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效4．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需修改，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号5．考试结束后，只收答题卡，本试题卷不回收一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（）A． B． C． D．2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（）A． B． C． D．3．直三棱柱中，若，，，则（）A． B．C． D．4．已知直线与垂直，则（）A．0 B．1 C．2 D．5．如图所示，直线与的图象可能是（）A． B．C． D．6．设，，若点在线段上，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且．则下列说法正确的是（）A．存在点，使得直线与直线相交B．存在点，使得直线平面C．直线与平面所成角的大小为D．平面被正方体所截得的截面面积为8．已知，满足，则的最小值为（）A． B． C．1 D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的）9．已知圆心为的圆与点，则（）A．圆的半径为2 B．点在圆外C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为10．下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为B．若直线经过第三象限，则，C．点在直线上D．存在使得直线与直线垂直11．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（）A．周长的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确的答案填在横线上）12．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则______．13．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是______．14．如图，正四棱锥的棱长均为2，点为侧棱的中点．若点，分别为直线，上的动点，则的最小值为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为，，，有2个黑球，编号分别为，，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次．（1）试写出该试验的样本空间；（2）设事件：“第一次摸到红球”，事件：“第二次摸到黑球”，求事件和事件发生的概率．16．棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．（1）证明：；（2）求；（3）求的长．17．已知直线的方程为．（1）求直线过的定点的坐标；（2）直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当面积最小时，求直线的方程．18．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到原点，光线经过的重心．（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有．）（1）建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；（2）求点的坐标；（3）求的周长．19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．半期考试数学参考答案1-5、CDDCC 6-8、CCB 9-11、BDACDBCD12、 13、 14、8．B【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则．设，则有，解得，所以．设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和．过作轴，过点作轴，显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置．易得，所以的最小值为．故选：B．11．BCD【分析】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断．【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，可知，，对于选项A：可得周长，当且仅当，，，四点共线时，等号成立，所以周长的最小值为，故A错误；对于选项B：设到轴，直线的距离分别为，，则，，可得，所以的最小值为，故B正确；对于选项C：因为，设到直线的距离为，可得，所以的最小值为，故C正确；对于选项D：作，垂足为，因为直线的斜率，则，可得，则，可得，所以的最小值为4，故D正确．14．【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点，分别为直线，上写出点，的坐标，这样就得到，然后根据，的取值范围而确定．【详解】建系如图，则有：，，，，，可得：，设，且，则有：，可得：，则有：，故，则当且仅当，时，，故答案为：．15．（1）【详解】（1）试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为：（2）由（1）可知样本空间中基本事件总数为20符合事件：“第一次摸到红球”的样本空间为：共12个基本事件符合事件：“第二次摸到黑球”的样本空间为：共8个基本事件故，，则事件和事件发生的概率分别为，．16．（1）【详解】（1）如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，因为，，所以，所以，故；（2）因为，所以，因为，且，所以；（3）因为是的中点，所以，又因为，所以，，即．17．【详解】（1）由题意，直线的方程可化为，联立方程组解得，所以直线过的定点．（2）设直线，则，，由（1）知，直线过的定点，可得，因为，，所以，解得，当且仅当且即时，等号成立，所以面积为，此时对应的直线方程为，即．18．【详解】（1）以为坐标原点，以，为，轴建立平面直角坐标系，则，，，故的重心的坐标为，即；（2）设，关于直线，的对称点分别设为，，则，设，直线的方程为，则，解得，即，由光的反射原理可知，，，共线，且光线经过的重心，故，解得或（舍去），故；（3）由（2）可得，，由题意可知，，故的周长．19．【详解】（1）连结，交于点，连结，点是的中点，点是的中点，所以，平面，平面，所以平面