2024年新高一数学初升高衔接《三角函数的概念》含答案解析

数学PAGE1数学第23讲三角函数的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点1任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点．三角函数定义记作符号表示正弦函数点的纵坐标余弦函数点的横坐标正切函数点的纵坐标与横坐标的比值我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数余弦函数正切函数2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关．知识点2三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号；（3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点3终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：其中注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110－1001－10知识点4三角函数定义的应用1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则.【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角的终边落在直线上，求，，的值．考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（

）A．或1 B．或6 C．6 D．1【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（

）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角的终边经过点，且，则.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知，则点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角是三角形的两个内角，则点（

）A．不可能在第一象限 B．不可能在第二象限C．不可能在第三象限 D．不可能在第四象限【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（

）A．0 B．2 C．4 D．考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若，则是第象限角．【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若满足，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知，且，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若终边不在坐标轴上，且，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是.【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）的值为（

）A．0 B． C． D．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）（

）A． B． C． D．【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）的值为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）（

）A． B． C． D．一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）的值（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角的终边经过点，且，则（

）A．3 B． C．5 D．4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·北京·月考）已知角终边上有一点，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（

）A．是第二象限角 B．是钝角C． D．点在第二象限三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点，且点的横坐标为，则．10．（23-24高一下·河南·月考）已知角的终边经过点，若，则实数．11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知且，则的终边在第象限.四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角的终边在直线上，求的值．13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P．(1)如图，若，求点P的坐标；(2)若点P的横坐标为，求的值．第23讲三角函数的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点1任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点．三角函数定义记作符号表示正弦函数点的纵坐标余弦函数点的横坐标正切函数点的纵坐标与横坐标的比值我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数余弦函数正切函数2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关．知识点2三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号；（3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点3终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：其中注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110－1001－10知识点4三角函数定义的应用1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点为角终边上，故，故选：D.【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：D【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则.【答案】/【解析】因为钝角的终边上的一点，所以，则，故，故答案为：【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角的终边落在直线上，求，，的值．【答案】答案见解析【解析】因为角的终边落在直线上，而直线即过第二象限也过第四象限，当角的终边在第二象限时，在直线上取一点，则，当角的终边在第四象限时，在直线上取一点，则.考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（

）A．或1 B．或6 C．6 D．1【答案】C【解析】因点M在角的终边上，则，故，解得，.故选：C.【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，解得．故选：B.【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角的终边经过点，且，所以，解得，所以.故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角的终边经过点，且，则.【答案】【解析】由角的终边经过点，可得，因为，可得，所以，所以.故答案为：.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，故A正确，B错误；因为，是第二象限角，所以，，故C、D正确.故选：ACD．【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知，则点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，故；，故.故点在第二象限.故选：B【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角是三角形的两个内角，则点（

）A．不可能在第一象限 B．不可能在第二象限C．不可能在第三象限 D．不可能在第四象限【答案】C【解析】对于A，当角是锐角时，，点在第一象限，错误；对于B，当角是钝角，角是锐角时，，点在第二象限，错误；对于C，因三角形最多有一个钝角，故与不可能同时小于0，即点不可能在第三象限，正确；对于D，当角是锐角，角是钝角时，，点在第四象限，错误.故选：C【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】BC【解析】由角的终边在第三象限，得，则，因此是第二象限角或第四象限角，当是第二象限角时，，当是第四象限角时，.故选：BC考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若，则是第象限角．【答案】三或四【解析】由于，所以一正一负，当是第一象限角时，均为正数，不符合，当是第二象限角时，均为负数，不符合，当是第三，或者第四象限角时，一正一负，符合，故答案为：三或四【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若满足，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上，由，可知的终边在第一象限或在第三象限，则的终边在第三象限，故选：C.【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知，且，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，且,所以，即角的终边位于第四象限.故选:D.【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若终边不在坐标轴上，且，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为,所以所以终边不在坐标轴上所以在第三象限.故选：C.考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】相遇时间为秒，故转过的角度为，其对应的坐标为，即.故选：C【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以，所以，其中，即点的坐标为.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是.【答案】【解析】相遇时间为秒，故转过的角度为，故对应坐标为，即.故答案为：【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得，，作轴且垂足为；利用三角函数定义可得，；又点在第四象限，所以点的坐标为.故选：C考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角α的终边经过点，所以．故选：C．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）的值（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角的终边经过点，且，则（

）A．3 B． C．5 D．【答案】B【解析】因为已知角的终边经过点，且，所以，解得，故选：B.4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角函数定义可得，因为，所以，解得，易知，点A在第二象限，所以.故选：D5．（23-24高一下·北京·月考）已知角终边上有一点，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【解析】依题意，，则，即，所以点在第一象限，即为第一象限角.故选：A6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的最小正角为，由任意角的