2024-2025学年浙江省杭州外国语学校八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省杭州外国语学校八年级（上）期中数学试卷一、单选题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（）A． B． C． D．2．（3分）已知a＞b，下列各式中，正确的是（）A．﹣2024a＞﹣2024b B．2024a＜2024b C．a﹣2024＞b﹣2024 D．2024﹣a＞2024﹣b3．（3分）为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”，是假命题，下列反例正确的是（）A．m＝﹣2，n＝5 B．m＝5，n＝2 C．m＝﹣5，n＝2 D．m＝﹣3，n＝﹣54．（3分）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（）A．70° B．55° C．40° D．40°或70°5．（3分）若点P（a+1，2﹣2a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．6．（3分）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，大于的长为半径画弧，交BC于点P，连结AP（）A．35° B．40° C．45° D．50°7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一个动点，过点D作DE⊥AB于点E，则DE+DF的长为（）A．16 B． C． D．8．（3分）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，∠ABO＝β，当BC∥OA时（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），设点C的坐标为（x，0），以线段BC为边的第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E（）A．（0，） B．（0，） C．（0，3） D．（0，x）10．（3分）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组，则n的取值范围是（）A．9＜n≤10 B．9≤n＜10 C．10＜n≤11 D．10≤n＜11二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是cm．12．（3分）若点M（2，a）与点N（b+1，3）关于x轴对称，则（a﹣b）2的值为．13．（3分）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集是．14．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为．15．（3分）如图，已知∠EOF＝90°，△ABC中，AB＝12，点A、B分别在边OE、OF上运动，点C到点O的最大距离为．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，且∠ACG＝45°，连BG交CE于P，下列结论：①AC＝AE，②CD＝BE，④PG＝PE，其中正确的有．三、解答题（本大题有8个小题，共72分.）17．（7分）解不等式与不等式组：（1）解不等式：；（2）解不等式组：．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，2），B（2，7），C（0，3），使点A与坐标原点O重合，得到ΔOB'C'，点P（m，n）为△ABC内一点（1）直接写出，点B'的坐标，C′的坐标．（2）直接写出，点P'的坐标是．（3）求△ABC的面积．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，DE⊥AB于E，BC＝6，求DE的长度．20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，连结AC，线段AC的垂直平分线交CD于点M，垂足为点Q．（1）求证：△AQN≌△CQM；（2）若，求证：△AMN是等边三角形．21．（10分）已知m为整数，关于x，y的方程组．（1）解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来；（2）求整数m的值．22．（10分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（0，n），满足（n﹣4）2+|m+n|＝0．点D是x轴上的动点且在点A左侧，连结束BD，以BD为边作△BDE，BD＝ED，连结AB、EA（1）求点A、B的坐标；（2）如图1，若OA＝AD，求点E的坐标；（3）如图2，试问动点D在运动过程中，几何量，请求出这个定值；如果变化24．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝Rt∠，点P在边AC上，作PQ⊥BC于点Q（1）如图1，若BP平分∠ABQ，求证：BP垂直平分AQ．（2）如图2，点O是BP的中点，直线AO交BC于点D，①求证：△AQO是等腰直角三角形．②若BD＝4，DQ＝6，求CQ的长度．

2024-2025学年浙江省杭州外国语学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、图形不是轴对称图形；B、图形是轴对称图形；C、图形不是轴对称图形；D、图形不是轴对称图形，故选：B．2．（3分）已知a＞b，下列各式中，正确的是（）A．﹣2024a＞﹣2024b B．2024a＜2024b C．a﹣2024＞b﹣2024 D．2024﹣a＞2024﹣b【解答】解：A、不等式a＞b两边都乘以﹣2024可得﹣2024a＜﹣2024b；B、不等式a＞b两边都乘以2024可得2024a＞2024b；C、不等式a＞b两边都减去2024可得a﹣2024＞b﹣2024；D、不等式a＞b两边都乘﹣1得﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意．故选：C．3．（3分）为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”，是假命题，下列反例正确的是（）A．m＝﹣2，n＝5 B．m＝5，n＝2 C．m＝﹣5，n＝2 D．m＝﹣3，n＝﹣5【解答】解：A、若m＝﹣2，则m＜n，m2＝4，n2＝25，∴m2＜n5，不能说明，故选项不符合题意；B、若m＝5，不能说明；C、若m＝﹣5，则m＜n，m4＝25，n2＝4，∴m8＞n2，说明原命题是假命题，故选项符合题意；D、若m＝﹣3，则m＞n，故选项不符合题意．故选：C．4．（3分）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（）A．70° B．55° C．40° D．40°或70°【解答】解：当这个角是底角时，其顶角＝40°；当这个角是顶角时，顶角＝70°；故选：D．5．（3分）若点P（a+1，2﹣2a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：∵点P（a+1，2﹣4a）在第一象限，∴，解得﹣3＜a＜1，故选：C．6．（3分）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，大于的长为半径画弧，交BC于点P，连结AP（）A．35° B．40° C．45° D．50°【解答】解：在△ABC中，∠B＝35°，则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，根据线段垂直平分线的性质，得PA＝PC，∴∠PAC＝∠C＝50°，∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝95°﹣50°＝45°，故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，点D是BC边上的一个动点，过点D作DE⊥AB于点E，则DE+DF的长为（）A．16 B． C． D．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝15，连接AD，如图：∴△ABC是等腰三角形，∴，∵过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∴，即：，∴15（DF+DE）＝18×12，可得：，故选：B．8．（3分）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，∠ABO＝β，当BC∥OA时（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴，整理得，α＝2β．故选：B．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），设点C的坐标为（x，0），以线段BC为边的第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E（）A．（0，） B．（0，） C．（0，3） D．（0，x）【解答】解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD∴∠OBC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，，∴△OBC≌△ABD（SAS），∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠EAO＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，在Rt△AOE中，AO＝1，∴OE＝OA＝，∴点E坐标（0，），故选：A．10．（3分）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组，则n的取值范围是（）A．9＜n≤10 B．9≤n＜10 C．10＜n≤11 D．10≤n＜11【解答】解：当0＜x＜2时，F（x，∴5﹣x＞3，不合题意（舍）；当x≥2时，则x﹣2＞3，∴x＞5，由F（﹣7，x）≤n，∴x≤n﹣1，∴5＜x≤n﹣8，∵有4个整数解，∴整数解为6，2，8，9，∴5≤n﹣1＜10，∴10≤n＜11．故选：D．二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是12cm．【解答】解：当腰是5cm时，三角形的边长为5cm、6cm；当腰是2cm时，边长为2cm、2cm、2cm，此种情况不存在；故答案为：12．12．（3分）若点M（2，a）与点N（b+1，3）关于x轴对称，则（a﹣b）2的值为16．【解答】解：根据题意可知，点M（2，3）关于x轴对称，∴b+7＝2，a＝﹣3，解得：b＝3，a＝﹣3，∴把b＝1，a＝﹣62＝（﹣3﹣6）2＝16．故答案为：16．13．（3分）若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集是x＜﹣1.5．【解答】解：由不等式组，得，∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴，解得，，由2x+6＜0，得x＜﹣8.5，故答案为：x＜﹣1.5．14．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为20°或40°．【解答】解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC＝CA'，∴∠AA'C＝∠CAA'＝（180°﹣α），∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC＝（180°﹣α）﹣30°，根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC+∠ACA'＝30°+α，△ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，①∠AA'C＝∠DAA'时，（180°﹣α）＝，无解，②∠AA'C＝∠ADA'时，（180°﹣α）＝30°+α，解得α＝40°，③∠DAA'＝∠ADA'时，（180°﹣α）﹣30°＝30°+α，解得α＝20°，综上所述，旋转角α度数为20°或40°．故答案为：20°或40°．15．（3分）如图，已知∠EOF＝90°，△ABC中，AB＝12，点A、B分别在边OE、OF上运动，点C到点O的最大距离为14．【解答】解：作CD⊥AB于D，连接OD，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ACD中，CD＝，∵∠AOB＝90°，∴OD＝AB＝6，∵OC≤OD+DC（当且仅当C、D、O共线时取等号），∴OC的最大值为OD+OC＝3+8＝14，即点C到点O的最大距离为14．故答案为14．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，且∠ACG＝45°，连BG交CE于P，下列结论：①AC＝AE，②CD＝BE，④PG＝PE，其中正确的有①②④．【解答】解：如图，设CE与AD交于点O，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝22.5°，∵CE⊥AD，∴∠AOE＝∠AOC＝90°，∴∠AEO＝∠ACO＝∠AEO＝67.5°，∴AC＝AE，故①正确，符合题意；∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAG＝22.8°，在△ACG和△CBE中，，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴CG＝BE，∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝67.5°，∵∠CGD＝∠ACG+∠CAD＝45°+22.5°＝67.6°，∴∠CGD＝∠ADC＝67.5°，∴CG＝CD，∴CD＝BE，故②正确，符合题意；∵CE⊥AD，∴DO＝GO，∴CE垂直平分DG，∴DP＝PG，∵∠ACG＝∠BCG＝45°，∴可知CG所在直线垂直平分AB，∴BG＝AG，∴AD＝AG+DG＝BG+DG，故③错误，不符合题意；∵BG＝AG，∴∠GAB＝∠GBA＝∠PCG＝22.5°，由上可知：CD＝CG，CD＝BE，∴CG＝BE，在△PBE和△PCG中，，∴△PBE≌△PCG（AAS），∴PG＝PE，故④正确，符合题意；综上：①②④正确，符合题意，故答案为：①②④．三、解答题（本大题有8个小题，共72分.）17．（7分）解不等式与不等式组：（1）解不等式：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）去分母，得2（x+1）﹣5（3x﹣1）≤12，去括号，得4x+2﹣9x+2≤12，移项，得2x﹣9x≤12﹣5﹣3，合并同类项，得﹣7x≤5，系数化为1，得x≥﹣1；（2），解不等式①得x＜，解不等式②得x≥﹣5，所以不等式组的解集为﹣5≤x＜．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，2），B（2，7），C（0，3），使点A与坐标原点O重合，得到ΔOB'C'，点P（m，n）为△ABC内一点（1）直接写出，点B'的坐标（﹣2，5），C′的坐标（﹣4，1）．（2）直接写出，点P'的坐标是（m﹣4，n﹣2）．（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由△ABC得到ΔOB'C'的一种平移方式为：先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度；所以点B'的坐标（﹣6，5），1）；故答案为：（﹣8，5），1）；（2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，n﹣3）；故答案为：（m﹣4，n﹣2）；（3）△ABC的面积＝3×4﹣×4×1﹣×2×5＝4．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，DE⊥AB于E，BC＝6，求DE的长度．【解答】解：（1）如图，BD即为所求．（2）∵BD为∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD．∵BD＝BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理得＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝8．设DE＝CD＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得2＝DE3+AE2，即（8﹣x）2＝x2+44，解得x＝3，∴DE的长度为3．20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，连结AC，线段AC的垂直平分线交CD于点M，垂足为点Q．（1）求证：△AQN≌△CQM；（2）若，求证：△AMN是等边三角形．【解答】证明：（1）∵MN垂直平分AC，∴AQ＝CQ，∵AB∥CD，∴∠NAQ＝∠MCQ，在△AQN和△CQM中，，∴△AQN≌△CQM（ASA）；（2）∵AD⊥AB，AD＝，∴∠ACD＝30°，∴∠NAQ＝∠ACD＝30°，∵△AQN≌△CQM，∴NQ＝MQ，AN＝CM，∵MN垂直平分AC，∴AM＝CM＝AN，∴∠MAQ＝∠NAQ＝30°，∴∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形．21．（10分）已知m为整数，关于x，y的方程组．（1）解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来；（2）求整数m的值．【解答】解：（1），①×6﹣②得﹣7y＝7m﹣4，解得y＝﹣m+，把y＝﹣m+代入①得x﹣2（﹣m+，解得x＝m+，所以方程组的解为；（2）∵，∴，解得﹣≤m＜，∴整数m的值为﹣2、﹣1、8、1、2、2、4．22．（10分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？【解答】解：（1）设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米解得：∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米（2）设A型挖掘机有m台，总费用为W元．根据题意得W＝4×300m+2×180（12﹣m）＝480m+8640∵∴解得∵m≠12﹣m，解得m≠6∴7≤m≤6∴共有三种调配方案，方案一：当m＝7时，12﹣m＝5，B型挖掘机3台；方案二：当m＝8时，12﹣m＝4，B型挖掘机6台；方案三：当m＝9时，12﹣m＝3，B型挖掘机8台．…∵480＞0，由一次函数的性质可知，∴当m＝7时，W小＝480×4+8640＝12000此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（0，n），满足（n﹣4）2+|m+n|＝0．点D是x轴上的动点且在点A左侧，连结束BD，以BD为边作△BDE，BD＝ED，连结AB、EA（1）求点A、B的坐标；（2）如图1，若OA＝AD，求点E的坐标；（3）如图2，试问动点D在运动过程中，几何量，请求出这个定值；如果变化【解答】解：（1）∵（n﹣4）2+|m+n|＝2，∴n﹣4＝0，m+n＝2，解得m＝﹣4，n＝4，∴m＝﹣5，n＝4，∴A（﹣4，6），4）；（2）过E作EH⊥x轴于H，∴∠EHD＝90°，∵A（﹣4，3），4）；∴OA＝OB＝4，∵OA＝AD＝2，∴OD＝8，∵∠BOD＝∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠EDH＝∠EDH+∠BDO＝90°，∴∠DEH＝∠BDO，∵DE＝DB，∴△DEH≌△BDO（AAS），∴DH＝OB＝4，EH＝OD＝5，∴OH＝12