辽宁省普通高中2024−2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试题（1）含答案

辽宁省普通高中2024−2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试题（1）一、单选题（本大题共8小题）1．已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或3．两平行直线与之间的距离为（）A． B． C． D．4．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则的值是（

）A． B． C． D．5．已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（）A． B． C． D．7．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）A．曲线的图象不关于原点对称B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过38．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法命题正确的是（

）A．已知，，则在上的投影向量为B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为10．已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（

）A． B．的离心率等于C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是11．在直三棱柱中，，，M是的中点，N是的中点，点P在线段上，点Q是线段上靠近M的三等分点，R是线段的中点，若面，则（

）．A． B．P为的中点C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则．13．如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为．

14．倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，点分别为的中点.(1)求证：；(2)求点到平面的距离16．已知圆.(1)直线截圆的弦长为，求的值.(2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.17．如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面.

(1)求四棱锥的体积；(2)设Q为上一点，若，求二面角的大小.18．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．(1)求椭圆的方程；(2)点是椭圆C上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；(3)过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．19．在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的正弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离;(3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；（ii）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

参考答案1．【答案】C【详解】当“与异面”，若直线与l不相交，由于，则，又，则，这与和异面相矛盾，故直线与l相交，故“与异面”是“直线与l相交”的充分条件；当“直线与l相交”，若与不异面，则与平行或相交，若与平行，又，则，这与直线和l相交相矛盾；若与相交，设，则且，得，即A为直线的公共点，这与相矛盾；综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l相交”的必要条件；所以“与异面”是“直线与l相交”的充分必要条件.故选：C.2．【答案】B【详解】若方程表示双曲线，则，得.故选：B3．【答案】C【详解】由题意知，所以，则化为，所以两平行直线与之间的距离为．故选：C．4．【答案】D【详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，．由题意知，，，关于轴成对称分布，．又，故所求的值为．故选：D．5．【答案】C【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得解.【详解】设，不妨令，则，整理得，又，所以，则，解得，所以存在定点，使得，要使最小，即最小，则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示，所以的最小值为．故选C.【关键点拨】设，令，将所求转化为求的最小值，是解决本题的关键.6．【答案】C【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又，所以，即，故是四边形外接圆的直径，由平面，，，平面，则，，，由，，平面，则平面，平面，则，由，，平面，则平面，平面，则，故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心，且为二面角的平面角，故，因为，，令且，则，，故，所以外接球半径，当时，，此时球的表面积的最小值为．故选：C7．【答案】D【详解】对于A，结合曲线：，将代入，方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误；对于B，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，故曲线经过的整点只能是，B错误；对于C，直线与曲线：必有公共点，因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，即只有一个解为，即时，无解，故，即实数的取值范围为，C错误，对于D，由，可得，时取等号，则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确，故选：D8．【答案】C【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O位置及半径，P在空间内轨迹为以O为球心的球，球与面，，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度即可.【详解】在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，，设圆O与AB交于M,由阿氏圆性质知，，，P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，若P在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M，R，所以P在四边形内的轨迹为，在中，，当P在面内部的轨迹长为，同理，当P在面内部的轨迹长为，当P在面时,如图③所示，面，平面截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，截面圆与分别交于，且，P在正方形内的轨迹为，，综上：P的轨迹长度为.故选C.9．【答案】CD【分析】根据投影向量公式计算判断A，应用向量共线判断B，判断四点共面判断C，根据基底运算判断D.【详解】对于A，由于，，则在的投影向量为，故A错误；对于B，因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以或，B错误；对于C，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面，则由空间向量共面定理以及可得，，所以，C正确；对于D，在单位正交基底下的坐标为，即，所以在基底下满足：，故，，，可得，，，则在基底下的坐标为，故D正确.故选CD.10．【答案】ACD【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；B选项中，直角中，，，，所以，得：，故B不正确；C选项中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故D正确故选：ACD.11．【答案】ACD【详解】对于选项AB，连接并延长交于S，连接，由平面几何知识可得：S是的中点，且N，R，S三点共线，是重心，因为面，平面，平面平面，所以，作交于，由直棱柱性质有，因此是平行四边形，，又由平面几何知识知是中点，因此是中点，从而，即P为上靠近N的三等分点，所以A正确，B错误；对于选项C，，因此是平行四边形，所以与互相平分，从而与点到平面的距离相等，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而，所以C正确；对于选项D，∵的外心是S，由得平面，∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，设三棱锥的外接球球心为O，半径为R，，则，，∴，解得：，，球表面积为，所以D正确．故选：ACD．12．【答案】【详解】与相减，可得两圆的公共弦所在线的方程为：，由圆：可得，圆的半径为4，圆心到AB直线的距离为，，因为，所以，时等号成立，又因为AB的最小值为，所以，解得.故答案为：.13．【答案】/【详解】因为，故或其补角就是异面直线PD与BC所成的角，连接PA，易知，，因为平面平面，菱形中，，即是正三角形，为AB中点，则，所以，又，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，因为平面平面，所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为．故答案为：.

14．【答案】/【详解】

设中点为，两渐近线可写成，设，则，且①-②可得，整理得，，即(*)，如图，在中，，则,故，即，将此式代入（*）得，解得依题意，，则.故答案为：.15．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由，得，则，即，由平面，平面，则，而，平面，于是平面，连接，又平面，则，由点分别为的中点，得，所以.（2）连接，交于点E，连接BE，过点C作，F为垂足，由，侧棱垂直于底面，得且，又，，平面CBE，则平面CBE，又平面CBE，则，又，，平面，因此平面，即CF为点C到平面的距离，由平面，平面，得，，所以点C到平面的距离．16．【答案】(1)(2)有，公共弦长为【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得；（2），设，由得，化简得：，即，所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，圆心距，，两圆相交，所以两圆有两个公共点，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为.17．【答案】(1)6；(2).【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以，同理得，所以，因为，，，所以，所以且，所以且，底面梯形的高为，所以底面梯形的面积，在中，，，，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以四棱锥的体积.（2）因为，，，所以即，所以，，两两垂直，可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，A2,0,0，，C-1,3,0，所以，，，设，所以，，因为，所以，解得，因此，，设m=x,y,z为平面的法向量，则，则，取，则，，即，因为平面，所以平面的法向量为，设二面角为，则，所以由图二面角的大小为.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，则，将代入中，得，则，结合，从而，，椭圆C方程为；（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，故设，与椭圆联立，得，由椭圆与直线只有一个交点，令，即①，又过，则②，联立①②可得，则，即得点为．设原点O0,0，由，，故，从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，又在椭圆上，从而，关于对称，故直线方程为（3）设，，，则，则①，又由，可得②，结合①②可得，，又，F1,0，，，则直线的方程为，轴，直线与交于，则，故，故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,故线段的最大值为.19．【答案】(1)(2)(3)（i）16；（ii）【详解】（1）因为直线的标准式方程为，所以直线的方向向量为，又平面的点法式方程可表示为，所以平面的法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（2）因为平面的