上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

彭浦中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷学校：______姓名：______班级：______考号：______一、填空题1.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______．【答案】异面或相交【解析】【分析】根据空间中线线的位置关系得解.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是异面或相交.故答案为：异面或相交2.若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______．【答案】189【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得.由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得.故答案：1893.已知球的表面积为，则该球的体积为__________．【答案】【解析】【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可.设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为：.故答案为：.4.已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________.【答案】【解析】【分析】取得到，时，根据计算得到答案.，取得到，当时，，，当时，不满足所以.故答案为：.【点睛】本题考查由求数列的通项公式，熟练应用公式是解题的关键，属于基础题.5.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______.

【答案】##【解析】【分析】根据平面可知即为所求角，利用可求得结果.连接，

平面，即为直线与平面所成角，在中，，，.故答案为：.6.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为_______.【答案】##【解析】【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，计算出底面圆的周长，得出该圆锥的母线长与底面半径的比.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.故答案为：2.7.已知数列满足：且，则_______．【答案】##【解析】【分析】根据递推式判断数列的周期性，利用周期性求目标项.由题设，则，，，，由上，是周期为3的数列，则.故答案为：8.两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是______【答案】7或17##17或7【解析】【分析】球半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，，则由已知可求得，，然后分球的球心在两个平行平面的外侧和球的球心在两个平行平面的之间两种情况求解即可球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，；球的半径为，由，得；由，得；如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即；如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即.所以这两个平面间的距离为或．故答案为：或9.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是________.（1）BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；（3）CN与BM成；（4）DM与BN垂直；【答案】（3）（4）【解析】【分析】将正方体的平面展开图还原为正方体，结合空间中直线与直线的位置关系判断计算即可.将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：对于（1）：显然是异面直线，故（1）不正确；对于（2）：在正方体中，,,所以四边形是平行四边形，所以，故（2）不正确；对于（3）：连接，结合（2）由，所以为异面直线与所成的角，显然，所以为等边三角形，所以，故（3）正确；对于（4）：因为在正方体中，面，且在面内，所以，又因为四边形是正方形，所以,因为且在面内，在面内，所以面，又因为在面内，所以，故（4）正确；故答案为：（3）（4）.10.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.【答案】##【解析】【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，设，，根据正弦定理当时遮阴影面面积最大，此时故答案为：二、单选题11.下列条件中，能够确定一个平面的是（）A.两个点 B.三个点C.一条直线和一个点 D.两条相交直线【答案】D【解析】【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能故选：D.12.设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得.对于A，，则或，A错误；对于B，，则或，B错误；对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误；对于D，由线面平行的性质知，D正确.故选：D13.在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.过点作于点，连接，因为四棱柱为正方体，所以易得平面，因此即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，则，，因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，因此，所以，因为，所以，则，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.三、解答题14.如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，．（1）求圆柱的侧面积；（2）求与所成的角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意在中，利用勾股定理可求，求得底面半径即可得解圆柱的侧面积．（2）由题意利用线面垂直性质可知，利用线面垂直的判定可证平面，进而根据线面垂直的性质即可证明，从而得解．【小问1详解】由题意可得，，，所以在中，，所以底面半径，所以圆柱的侧面积．【小问2详解】由题意可得，又因为是圆柱的一条母线，可得底面，因为底面，所以，因为，且，平面，所以平面，又平面，所以，所以与所成的角为．15.如图，在正方体中，，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案；（2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为.【小问1详解】因，所以即为异面直线与所成角，因为，由勾股定理得，，故，所以；【小问2详解】连接交于，则，因为⊥平面，平面，所以，又因为，，平面，所以面，所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为.16.已知等差数列的前项和为，若，，（1）求（2）当取最大值时，求的值【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将已知条件用等差数列的首项和公差表示，解方程组得到首项和公差，从而求得数列的通项公式；（2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质，即可判断出取最大值时的值.【小问1详解】设等差数列an的公差为，因为，，所以，解得，所以.【小问2详解】，所以当取最大值时，或.17.如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）解法一：设与的交点为，利用三角形的中位线证明，可证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；（2）解法一：求出点到平面的距离，由求解即可.解法二：向量法求点到平面距离，得到棱锥的高，可求体积.【小问1详解】解法一：证明：连接与交于点，则是的中点，连接，又是的中点，则有，平面，平面，所以平面.解法二：，则有，又平面，以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为n=x,y,z，有，令，则，得，于是，且平面，故平面.【小问2详解】解法一：取的中点，连接，直三棱柱中，平面，平面，故，又为的中点，则有且.由，则有，又，平面，所以平面，平面.，.解法二：在（1）的基础上，，设平面的一个法向量为，，令则，得，于是点到平面的距离为，于是.18.如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，（1）求证：平面平面SFD；（2）当是边的中点时，二面角的大小；（3）设面面，求证：.（4）若，将沿翻折到，沿翻折到，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）证明见解析（4）【解析】【分析】（1）由已知，，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）由已知可得，，可证平面平面SEF，可求二面角的大小；（3）利用线面平行的性质定理证明即可；（4）设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角．设（），利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【小问1详解】因为是正方形，为的中点，所以，，又，SD，平面SFD，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】当是边的中点时，由（1）可知，，又∵，，，，∴，又∵，平面，∴平面，平面平面，二面角的大小为90°；【小问3详解】因为，平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以；【小问4详解】设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角，设（），则，，在中，，，，可得，