四川省新高考教研联盟2025届高三上学期八省适应性联考模拟演练考试（二）数学试题含答案

八省适应性联考模拟演练考试（二）数学试题命题：四川省新高考教研联盟试题研究中心审题：四川省新高考教研联盟试题研究中心注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求.1.已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后根据复数的相关概念判断即可；解：因为，，所以，所以，所以复数的虚部为；故选：B2.设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】将不等式恒成立转化为,利用基本不等式求得的最小值，即可得答案.∵，，不等式恒成立，即恒成立，∴只需,∵，当且仅当时取等号.所以，∴，∴m的最小值为，故选：D3.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）A.68πcm3 B.152πcm3 C. D.204πcm3【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，可得圆台上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，再利用台体体积公式计算得答案.依题意，上圆台底面半径为4，面积，下底面半径为6，面积，圆台高h为6，所以圆台的体积.故选：B4.给出下列命题：①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.5.设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围.由以及正弦定理得，所以即，又B为钝角，所以，故于是，因为，所以由此，即的取值范围是故选：A6.如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】连接，，，由直线和圆相切的性质，可得，设，运用双曲线的定义，求得，再由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．解：连接，，，由直线和圆相切的性质，可得，设，由双曲线的定义可得，，则，，，由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有，即，．故选：B．7.设，m>0，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.8.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.因为，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，-a不是方程的根，故，不符合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意.所以，故.故选：B.【点睛】对于新定义问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B..是的必要不充分条件C.若，，，则“”的充要条件是“”D.若，，则“”是“”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．A选项：当时，满足，但是不能推出；反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故A错误；B选项：当，,但是不能推出A=∅当A=∅时，，故B正确；C选项：当时，不能由推出,故C错误；D选项：等价于等价于，故D正确；故选：BD.10.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（）A.平面 B.平面C.四棱锥外接球的表面积为 D.四棱锥的体积为12【答案】BD【解析】【分析】对于A，通过证明平面来判断结论错误；对于B，设,连接，证明即得结论；对于C，取中点,连接先证平面，过点作平面,其中点为四棱锥外接球的球心，通过直角梯形建立方程求解即得外接球半径，计算排除C；对于D，利用为的中点，得到点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，从而求得体积.对于A，因底面为矩形，则，又侧面平面，且侧面平面，平面，故平面,而与不重合，故A错误；对于B，设,连接,因分别是的中点，则,又平面，平面,故得平面，即B正确；对于C，取中点,连接因，则,,因侧面平面，且侧面平面，平面，则平面，易知点为矩形的外接圆圆心，过点作平面,其中点为四棱锥外接球的球心，连接,设球的半径为，在中，，故，又，在直角梯形中，，解得，，故四棱锥外接球的表面积为，故C错误；对于D，因点为的中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即,故四棱锥的体积为，故D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题主要考查与空间几何体有关的线面关系判断，外接球以及体积问题，属于难题.解题思路在于掌握线面垂直、平行的判定和性质，借助于图形进行推理和计算，掌握几何体外接球的常规解法，通过作图、分析列出方程求解即得.11.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：，）A.B.C.D.取得最大值时，M的估计值为54【答案】BC【解析】【分析】A选项，由条件概率的定义进行判断；B选项，在A选项基础上，推出，结合，得到，简单变形即可得到B正确；C选项，利用正态分布的对称性和原则得到答案；D选项，，，令，作商法得到其单调性，求出，，得到答案.A选项，由条件概率的定义可知，，A错误；对于B，因为，所以，其中，故，又，于是，即，即，而，所以，即，故，B正确；C选项，指标服从正态分布，故，则，因为，，所以，C正确；D选项，，，设，令，解得，故，令，解得，即，所以取得最大值时，M的估计值为53，D错误.故选：BC【点睛】结论点睛：条件概率的性质：设，（1）；（2）如果是两个互斥事件，则；（3）设和为对立事件，则；三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分.12.如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米【答案】【解析】【分析】利用三角函数的应用建立距离水平地面的高度关于的关系式，再代入即可得解.依题意，设距离水平地面的高度，所以，，则，所以，则，故答案为：.13.在平面直角坐标系中,若方程所表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】把等式，变形为动点到定点的距离与到定直线的距离之比的形式，然后根据椭圆的第二定义，可以求出实数m的取值范围.因为方程所表示的曲线是椭圆，所以由可得：,则，因此有，故实数m的取值范围，故答案为：14.中，的最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由正弦的和差角公式以及辅助角公式化简，然后构造函数，求导即可得到结果.令，其中，则，设，，显然，有，则只需考虑在上的最大值，求导得，令，得，则且，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，即为最大值，.所以的最大值是.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用三角形内角和定理、诱导公式及辅助角公式化成关于角的函数，是求出最大值的关键.四.解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤.15.如图，在三棱柱中，，.（1）求的长；（2）若为的中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理、性质定理即可求得的长;（2）建立空间直角坐标系，直接计算或者利用解三角形的知识得和的坐标，再求出两个面的法向量，即可得到二面角的余弦值.【小问1详解】取的中点，连接，．，，，．又，，平面，平面，又平面，．又，，.【小问2详解】如图，以为坐标原点，，所在直线，过且与平面垂直的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图则易得，，，，．设，，由为的中点，可得，则，由，，，可得，解得，,．．设平面的法向量为，则，即，令，可得．设平面的法向量为，则，即，则，可得．则，易知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．16.在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）频数2035251055（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望；（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望；（2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断.【小问1详解】，由Z服从正态分布，得，因此，所以X的数学期望为.【小问2详解】①棋子开始在第0格必然事件，，第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，因此，即，且，所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.②由①知，，，，，将以上各式相加，得，于是，则闯关成功的概率为，闯关失败的概率为，，所以该大学生闯关成功概率大于闯关失败的概率.17.已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，．（1）求的轨迹方程；（2）若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程为.（2）设、Bx2,y2、，利用点在抛物线上可用纵坐标表示三点，利用斜率关系可得三个纵坐标的关系，从而可以的斜率表示，结合基本不等式可求的最小值，故可求面积的最小值.【小问1详解】设点，因为，且点在轴上，所以，又，则，，由，故点的轨迹方程为.【小问2详解】设该正方形为，其在上的三个顶点为、Bx2,y2、不妨设，在轴的下方（包括轴），且，则，设直线的斜率为，则，所以，，故，故.又，所以，，将，用表示，得，故，，当且仅当时等号成立，又，当且仅当时等号成立，结合，故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，所以正方形面积，当时取最小值.18.已知函数，.（1）若时，求的所有单调区间；（2）若在区间上的最大值为，求的范围.【答案】（1）减区间是，，且；增区间是，，且.（2）.【解析】【分析】(1)将a＝0代入f(x)，求，根据正负即可求f(x)单调区间；(2)分、、、四种情况研究f(x)和在[0，π]的单调性和最值，.【小问1详解】当时，f(x)＝xcosx－sinx，.当，且时，；当，且时，；关于原点对称为，关于原点对称为，∵f(x)定义域为R，且，∴f(x)是奇函数，∴f(x)在关于原点对称的区间上单调性相同，∴的减区间是，，且；的增区间是，，且.【小问2详解】.(i)当时，时，，∴，单调递减.此时，而，∴，此时不合题意；(ii)当时，变化时变化如下表：↗极大值↘此时在上最大值.而在(0，a)单调递减，在(a，π)单调递增，∴，易证y＝x－sinx在上单调递增，故y＝x－sinx≥0－sin0＝0，即在上，x≥sinx，故时，，∴＝，∴，又，故当x＝a时，g(x)取最大值1，∴符合题意；(iii)当时，，，，，，∴，单调递增，，，∴，且当x＝π时，，符合题意.(iv)当时，∵时，∴，∴，单调递增，此时，在上单调递减，，故，又，∴要使g(x)有最大值，则，整理得，设，.则，令，则，∴单调递增，∴，∴单调递增，∴，故在内无解，即，故不合题意；综上，.【点睛】本题解题的关键是发现，分别研究f(x)和在[0，π]上