2025年高考数学基础知识篇（核心知识背记手册）

高考数学基础知识篇（核心基础知识背记手册）目录TOC\o"1-1"\h\u基础知识背记01集合 1基础知识背记02常用逻辑用语 2基础知识背记03复数 2基础知识背记04平面向量 3基础知识背记05基本不等式 4基础知识背记06三角函数与诱导公式、三角恒等变换 4基础知识背记07三角函数的图象及性质 6基础知识背记08解三角形 7基础知识背记09函数的基本性质 9基础知识背记10指数对数幂函数 11基础知识背记11函数的零点与方程的根 13基础知识背记12导数 14基础知识背记13数列 15基础知识背记14立体几何 16基础知识背记15直线与圆 22基础知识背记16圆锥曲线 25基础知识背记17排列组合与二项式定理 29基础知识背记18概率统计 31基础知识背记01集合1.集合有个元素，子集有个，真子集有个，非空真子集个数为个.2.，3.基础知识背记02常用逻辑用语1. 充分条件与必要条件对于若则类型中，为条件，为结论若充分性成立，若必要性成立若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件）若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件）若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件）若，，则是的既不充分也不必要条件2. 全称量词命题与存在量词命题全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题3. 全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题的否定全称量词命题：，，否定为：，存在量词命题的否定存在量词命题：，，否定为：，基础知识背记03复数1. 虚数单位：，规定2. 虚数单位的周期3. 复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部4. 复数的分类5. 复数相等：若6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，7. 复数的几何意义：复数复平面内的点8. 复数的模：，则；基础知识背记04平面向量1. 向量的运算（1）两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标（2）向量的加减法，，（3）向量的数乘运算，则：（4）向量的模，则的模（5）相反向量已知，则；已知（6）单位向量（7）向量的数量积（8）向量的夹角（9）向量的投影（10）向量的平行关系（11）向量的垂直关系（12）向量模的运算基础知识背记05基本不等式1. ，，（积定和最小）2. ，，（和定积最大）3. ，，4. 推广公式：基础知识背记06三角函数与诱导公式、三角恒等变换1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：3.正弦的和差公式，4.余弦的和差公式，5.正切的和差公式，6.正弦的倍角公式 7.余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，8.正切的倍角公式9.推导公式10.辅助角公式，，其中，基础知识背记07三角函数的图象及性质1. 三角函数的图象与性质函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2. 三角函数型函数的图象和性质（1）正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相（2）正切型函数性质的周期公式为：3. 三角函数的伸缩平移变换（1）伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比（2）平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下基础知识背记08解三角形1. 正弦定理（1）基本公式：（其中为外接圆的半径）（2）变形①②③④（3）应用：边角互化①②③或（舍）2. 三角形中三个内角的关系，，3. 余弦定理（1）边的余弦定理，，（2）角的余弦定理，，（3）应用1.求值，求角①在中，已知，求，②在中，已知，求，（4）应用2.判断三角形的形状设为最大边，则为最大角钝角三角形直角三角形锐角三角形4. 三角形的面积公式基础知识背记09函数的基本性质1. 定义域①分式函数定义域：②偶次根式函数的定义域：③次幂型函数的定义域：④对数函数的定义域：⑤正切函数的定义域：2. 单调性（1）单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（2）复合函数的单调性3. 奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算4. 周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）5. 对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为6. 周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：7. 奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：基础知识背记10指数对数幂函数1.指数函数的图象与性质a>10<a<1图像定义域R值域(0，+∞)性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2)当x>0时，0<y<1;x<0时,y>1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数2.指数和对数的互化公式3.对数的性质与运算法则（1）两个基本对数：①，②（2）对数恒等式：①，②（3）幂的对数：①：②：③：（4）积的对数：（5）商的对数：4.换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：5.对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数6.幂函数恒过定点（1）幂函数的单调性（2）幂函数的奇偶性基础知识背记11函数的零点与方程的根1.函数的零点对于函数，我们把的实数叫做函数的零点2.函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标方程的实数解函数的零点函数的图象与轴有交点3.零点存在性定理如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解基础知识背记12导数1. 八大常用函数的求导公式（1）（为常数）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）2. 导数的四则运算（1）和的导数：（2）差的导数：（3）积的导数：（前导后不导前不导后导）（4）商的导数：，3. 复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）4. 导数的几何意义（1）导数的几何意义导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率（2）直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：5. 导函数与原函数的关系单调递增单调递减6. 极值（1）极值的定义在处先↗后↘，在处取得极大值在处先↘后↗，在处取得极小值（2）极值与导数的关系是极值点是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件基础知识背记13数列1. 等差数列通项公式：或2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列4. 等差数列前n项和公式：或5. 等差数列的前项和中，，（为奇数）6. 等比数列通项公式：7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列9. 等比数列前项和公式：10. 已知与的关系11. 分组求和若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和12. 裂项相消求和基础知识背记14立体几何1. 平面初等几何基础（1）三角形的面积公式：（2）正方形的面积公式：（3）长方形的面积公式：（4）平行四边形的面积公式：（5）菱形的面积公式：（，为菱形的对角线）（6）梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高）（7）圆的周长和面积公式：，2. 立体几何基础公式（1）所有椎体体积公式：（2）所有柱体体积公式：（3）球体体积公式：（4）球体表面积公式：（5）圆柱：（6）圆锥：3. 平面图形的判定定理（1）高中常用的平行四边形的判定定理①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形②两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）菱形的判定定理①四边相等的四边形是菱形②对角线互相垂直平分的四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）③一组邻边相等的平行四边形是菱形（3）正方形的判定定理①有一个角是直角的菱形是正方形②一组邻边相等的矩形是正方形③对角线互相垂直的矩形是正方形（4）矩形的判定定理对角线相等且互相平分的四边形是矩形4. 平面图形的对角线平行四边形的对角线互相平分菱形的对角线互相垂直平分矩形的对角线相等且互相平分正方形的对角线互相垂直平分且相等5. 常见立体几何的定义、性质及其关系（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形6. 四个公理与一个定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7. 空间中点线面的位置关系点与直线的位置关系点在直线上点不在直线上点与面的位置关系点在平面上点不在平面上线与线的位置关系平行，相交，，异面线与面的位置关系面与面的位置关系平行，相交，与重合8. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式（1）已知长宽高求体对角线：（2）已知三条面对角线求体对角线：9. 球体问题（1）球体体积公式：，球体表面积公式：（2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）球心体心，直径体对角线已知长宽高，，求体对角线，公式为：，（3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ），其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）（4）墙角问题可转化为类型Ⅰ（5）侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ10. 空间中的平行关系（1）线线平行①三角形、四边形中位线，②平行四边形的性质（对边平行且相等）③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行图形语言符号语言（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行图形语言符号语言（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行图形语言符号语言判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行图形语言符号语言（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行11. 空间中的垂直关系（1）线线垂直①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直②勾股定理的逆定理证线线垂直③菱形、正方形的对角线互相垂直（2）线面垂直的判定定理判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直图形语言符号语言（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线图形语言符号语言性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言（4）面面垂直的判定定理判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）图形语言符号语言（5）面面垂直的性质定理性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面图形语言符号语言12. 异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）13. 线面角直线与平面所成角，(为平面的法向量).14. 二面角的平面角（，为平面，的法向量）.15. 点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.基础知识背记15直线与圆1.两点间的距离公式，，2.中点坐标公式，，为的中点，则：3.三角形重心坐标公式4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，（2）倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为（3）直线的斜率与倾斜角的关系：不存在5.两点间的斜率公式，，6.直线的斜截式方程，其中为斜率，为轴上的截距7.直线的点斜式方程已知点，直线的斜率，则直线方程为：8.直线的一般式方程9.两条直线的位置关系（1）平行的条件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，（2）重合的条件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，（3）垂直的条件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，10.点到直线的距离公式点，直线，点到直线的距离为：11.两条平行线间的距离公式，，12.圆的标准方程，其中圆心坐标为，半径为13.圆的一般方程（）配方可得：，圆心坐标为，半径为14.表示圆的充要条件：15.点与圆的位置关系已知点，圆的方程为：若，点在圆内若，点在圆上若，点在圆外16.直线与圆的位置关系直线，圆代数关系，其中为联立方程根的个数，几何关系，其中为圆心到直线的距离17.圆上一点的切线方程18.圆与圆的位置关系设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；19.弦长公式设，，则或：20.圆上一点到圆外一点的距离的最值21.圆上一点到圆上一点的距离的最值22.圆上一点到直线距离的最值23.过圆内一点的最长弦和最短弦最长弦：直径；最短弦：垂直于直径基础知识背记16圆锥曲线1. 椭圆的定义2. 数学表达式3. 椭圆的标准方程焦点在轴上的标准方程？椭圆标准方程为：焦点在轴上的标准方程？椭圆标准方程为：4. 椭圆中，，的基本关系5. 椭圆的几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点坐标，，，，长轴长轴长，长半轴长短轴短轴长，短半轴长焦点，，焦距焦距，半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为离心率离心率对椭圆的影响越大，椭圆越扁越小，椭圆越圆，圆6. 双曲线的定义7. 数学表达式：8. 双曲线的标准方程焦点在轴上的标准方程？焦点在轴上的标准方程？标准方程为：标准方程为：9. 双曲线中，，的基本关系10. 双曲线的几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点坐标，，，，实轴实轴长，实半轴长虚轴虚轴长，虚半轴长焦点，，焦距焦距，半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为渐近线方程离心率离心率对双曲线的影响越大，双曲线开口越阔越小，双曲线开口越窄11. 抛物线的定义平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线12. 图形13. 数学表达式14. 标准方程的推导设，由定义可知：，等式两边同时平方得：15. 抛物线的标准方程及其几何性质焦点位置轴正半轴轴负半轴轴正半轴轴负半轴图形标准方程焦点坐标准线方程16. 通径通径长：，半通径长：17. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）基础知识背记17排列组合与二项式定理1.分类计数原理（加法原理）.2.分步计数原理（乘法原理）.3.排列数公式==.(，∈N*，且)．注:规定.4.组合数公式===(∈N*，，且).5.排列数与组合数的关系.6．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.8.二项式定理;二项展开式的通项公式.基础知识背记18概率统计1.等可能性事件的概率.2.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．3.个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．4.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).5.个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．6.次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率7.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.8.数学期望9.数学期望的性质（1）.（2）若～,则.(3)若服从几何分布,且，则.10.方差11.标准差=.12.方差的性质(1)；(2）若～，则.(3)若服从几何分布,且，则.13.方差与期望的关系.14.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.15.对于，取值小于x的概率..16. 条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以记成AB)类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．17. 条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简18. 全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA