专题08函数的图象-《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》2

专题08函数的图象【热点聚焦】高考对函数图象的考查，主要有作图、识图、用图，考查数形结合思想的应用.命题形式有基本初等函数的图象、由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、方程问题、不等式问题等，常见的函数图象应用命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质等．常常与导数结合考查.【重点知识回眸】一.幂函数、指数函数、对数函数的图象1.五种幂函数的图象2．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．4．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．二．利用描点法作函数的图象描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．三．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．(2)对称变换(3)伸缩变换(4)翻转变换（5）图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化例如：可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：有两种方案方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）四.常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．【典型考题解析】热点一基本初等函数的图象【典例1】（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．【典例2】（浙江·高考真题（文））在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A． B．C． D．【典例3】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（

）A． B．C． D．热点二作函数的图象【典例4】（2021·全国·高考真题（文））已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【总结提升】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．热点三图象的变换【典例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是（

）A． B．C． D．【典例6】（四川·高考真题（文））函数的图象可能是

()A． B．C． D．【规律方法】1．平移变换当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．热点四函数图象的辨识【典例7】（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【典例8】（2022·天津·高考真题）函数的图象为（

）A． B．C． D．【典例9】（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【总结提升】辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．热点五：从图象到解析式【典例10】（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【典例11】（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【总结提升】1.根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.2．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．热点六：函数图象的应用【典例12】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【典例13】（2017·天津·高考真题（文））已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例15】（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递增【总结提升】1.根据函数的图象研究函数性质的方法(1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域．(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性．(3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性．2.利用函数图象研究不等式当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．3.利用函数图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．【精选精练】一.单选题1．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．03．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）A． B．C． D．4．（2022·北京·高三专题练习）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2022·内蒙古通辽·二模（文））若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．6．（2022·四川广安·模拟预测（文））华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）从函数，，，，中任选两个函数，记为和，若或的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数若方程（且）有唯一实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若关于x的不等式在区间上有唯一的整数解，则实数m的取值可以是（

）A．1 B． C． D．三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图，则________．13．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.14．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__．四、双空题16．（2021·北京八十中高三阶段练习）已知函数，若方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是___________；若互不相等的实数满足，则的取值范围是__________