2024-2025学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用2.3.1向量的数乘运算课时作业含解析北师大版必修第二册

PAGE课时分层作业(十五)向量的数乘运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为()A．－a B．－4bC．c D．a－bA[3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，若点D满意eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，则eq\o(AD,\s\up8(→))＝()A．eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B．eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cA[∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝2(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.]3．在△ABC中，M是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))等于()A．eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up8(→)) B．eq\o(AM,\s\up8(→))C．2eq\o(AM,\s\up8(→)) D．eq\o(MA,\s\up8(→))C[作平行四边形ABEC，则M是对角线的交点，故M是AE的中点，由题意知，eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＝2eq\o(AM,\s\up8(→))，故选C．]4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－bA．4e2 B．4e1C．3e1＋6e2 D．8e2D[3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e25．若点O为平行四边形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3e2，则eq\f(3,2)e2－e1＝()A．eq\o(BO,\s\up8(→)) B．eq\o(AO,\s\up8(→))C．eq\o(CO,\s\up8(→)) D．eq\o(DO,\s\up8(→))A[因为eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝3e2－2e1，所以eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)e2－e1.]二、填空题6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________．a－8b[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－87．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up8(→))＝________.(用a，b表示)eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a[eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b－a＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b－a＋eq\f(3,4)(a＋b)＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a.]8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→))＝0，则△ABC的内角A等于________．30°[由eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→))＝0得，eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，又OA＝OB，则四边形OACB为菱形，所以△OAC是正三角形，所以∠CAO＝60°所以∠CAB＝eq\f(1,2)∠CAO＝30°]三、解答题9．如图，四边形ABCD是一个梯形，eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2|eq\o(DC,\s\up8(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up8(→))＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up8(→))；(2)eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]因为eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2|eq\o(DC,\s\up8(→))|，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→)).(1)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.(2)eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,4)e1－e2＋eq\f(1,2)e1＝eq\f(1,4)e1－e2.10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，eq\o(DA,\s\up8(→))＝b，试用a，b表示eq\o(EF,\s\up8(→)).[解]如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.在△ABC中，EP是中位线，所以eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，FP是中位线，所以eq\o(PF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EP,\s\up8(→))＋eq\o(PF,\s\up8(→))＝－eq\o(PE,\s\up8(→))＋eq\o(PF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)(a＋b)．11．设D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(DA,\s\up8(→))＋2eq\o(EB,\s\up8(→))＋3eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→)) B．eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→)) D．eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up8(→))D[∵D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，∴eq\o(DA,\s\up8(→))＋2eq\o(EB,\s\up8(→))＋3eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up8(→))＋\o(CA,\s\up8(→))))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→))＋\o(CB,\s\up8(→)),2)))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up8(→))＋\o(BC,\s\up8(→)),2)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up8(→))]12．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq\o(AC,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up8(→))等于()A．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bD[∵△DEF∽△BEA，∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,3)，∴DF＝eq\f(1,3)AB，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→)).∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，联立得：eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.]13．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－bC．a∥b D．a＝2bD[由a＝2b，得eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(2b,2|b|)＝eq\f(b,|b|)，故选D．]14．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋λeq\o(CB,\s\up8(→))，则λ的值为________．eq\f(2,3)[eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→)).]15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))表示eq\o(AD,\s\up8