2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十八第七章统计案例1一元线性回归含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE四十八一元线性回来(15分钟25分)1．为了探讨某大型超市开业天数与销售额的状况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的状况如表所示：开业天数1020304050销售额/天(万元)62758189依据表中供应的数据，求得Y关于X的线性回来方程为Y＝0.67X＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为()A．68B．68.3C．71D．71.3【解析】选A.依据表中数据，可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，代入线性回来方程Y＝0.67X＋54.9中，求得eq\x\to(y)＝0.67×30＋54.9＝75，则表中模糊不清的数据是75×5－62－75－81－89＝68.2．已知两个变量X和Y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：X100120140160180Y4554627592那么变量Y关于X的线性回来方程只可能是()A．Y＝0.575X－14.9 B．Y＝0.572X－13.9C．Y＝0.575X－12.9 D．Y＝0.572X－14.9【解析】选A.由表格易知eq\x\to(x)＝140，eq\x\to(y)＝65.6，依据线性回来方程Y＝X＋必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，代入检验只有Y＝0.575X－14.9适合．3．对某台机器购置后的运行年限X(X＝1，2，3，…)与当年利润Y的统计分析知X，Y具备线性相关关系，回来方程为Y＝10.47－1.3X，估计该台机器最为划算的运用年限为________年．【解析】当年利润小于或等于零时应当报废该机器，当Y＝0时，令10.47－1.3X＝0，解得X≈8，故估计该台机器最为划算的运用年限为8年．答案：84．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm，170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回来分析的方法预料他孙子的身高为________cm.【解析】设父亲身高为Xcm，儿子身高为Ycm，则X173170176Y170176182eq\x\to(x)＝173，eq\x\to(y)＝176，＝1，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝176－1×173＝3，所以Y＝X＋3，当X＝182时，Y＝185.答案：185(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．在一次试验中，测得(X，Y)的四组值分别为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则Y与X之间的线性回来方程为()A．Y＝X＋1 B．Y＝X＋2C．Y＝2X＋1 D．Y＝X－1【解析】选A.eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)＝3.5，因为回来方程过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，代入检验只有Y＝X＋1适合．2．某商场为了了解毛衣的月销售量Y(件)与月平均气温X(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温X℃171382月销售量Y(件)24334055由表中数据算出线性回来方程Y＝X＋中的＝－2，气象部门预料下个月的平均气温为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()A．58件B．40件C．38件D．46件【解析】选D.由表格得(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))为：(10，38)，因为(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回来方程Y＝X＋上且＝－2，所以38＝10×(－2)＋，解得＝58，所以Y＝－2X＋58，当X＝6时，Y＝－2×6＋58＝46.3．有人收集了春节期间平均气温X(单位：℃)与某取暖商品的销售额Y(单位：万元)的有关数据如表：平均气温X(℃)－2－3－5－6销售额Y(万元)20232730依据以上数据，用线性回来的方法，求得销售额Y与平均气温X之间的线性回来方程Y＝＋X的系数＝－2.4.则预料平均气温为－8℃时，该商品的销售额为()A．34.6万元 B．35.6万元C．36.6万元 D．37.6万元【解析】选A.由已知，得eq\x\to(x)＝eq\f(－2－3－5－6,4)＝－4，eq\x\to(y)＝eq\f(20＋23＋27＋30,4)＝25，所以＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即线性回来方程为Y＝15.4－2.4X，当X＝－8时，Y＝34.6.4．(2024·长沙高二检测)为了探讨某班学生的数学成果X(分)和物理成果Y(分)的关系，从该班随机抽取10名学生，依据测量数据的散点图(图略)可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回来直线方程为Y＝X＋．已知eq\i\su(i＝1,10,x)i＝750，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝800，＝1.2，该班某学生的物理成果为86，据此估计其数学成果约为()A．81B．80C．93D．94【解析】选B.eq\x\to(x)＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)i,10)＝75，eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,10,y)i,10)＝80，故＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝－10，即Y＝1.2X－10，当Y＝86时，86＝1.2X－10，解得X＝80.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回来直线方程为Y＝bX＋a，那么下面说法正确的是()A．直线Y＝bX＋a必经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．直线Y＝bX＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线Y＝bX＋a的斜率为eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)D．直线Y＝bX＋a是最接近Y与X之间真实关系的一条直线【解析】选ACD.回来直线肯定经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故A正确；直线Y＝bX＋a可以不经过样本点中的任何一点，故B错误；由回来方程的系数可知C正确；在直角坐标系中，直线Y＝bX＋a与全部样本点的偏差的平方和最小，故D正确．6．某同学参与社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入X(单位：万元)与年家庭消费Y(单位：万元)的数据，制作了比照表：X/万元2.72.83.13.53.9Y/万元1.41.51.61.82.2由表中数据得回来直线方程为Y＝0.62X＋a，得到下列结论，其中正确的是()A．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.5万元B．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.2万元C．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.62万元D．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元【解析】选BC.由题得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(2.7＋2.8＋3.1＋3.5＋3.9)＝3.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(1.4＋1.5＋1.6＋1.8＋2.2)＝1.7，所以1.7＝0.62×3.2＋a，所以a＝－0.284.所以Y＝0.62X－0.284.当X＝4时，Y＝2.196≈2.2，所以选项B正确，选项A错误；因为Y＝0.62X－0.284，所以若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.62万元，所以选项C正确，选项D错误．三、填空题(每小题5分，共10分)7．(2024·池州高二检测)对具有线性相关关系的变量X，Y，测得一组数据如表：X24568Y2040607080依据表，利用最小二乘法得它们的回来直线方程为Y＝10.5X＋，据此模型预料，当X＝10时，Y的值是________．【解析】由题表数据可得eq\x\to(x)＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(20＋40＋60＋70＋80,5)＝54，所以＝eq\x\to(y)－10.5eq\x\to(x)＝54－10.5×5＝1.5，所以回来直线方程为Y＝10.5X＋1.5，当X＝10时，Y＝10.5×10＋1.5＝106.5答案：106.58．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X(单位：h)与当天投篮命中率Y之间的关系：时间X12345命中率Y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回来分析的方法，预料小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为________．【解析】eq\x\to(y)＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝eq\f(2.5,5)＝0.5，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.由公式，得＝0.01，从而＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回来方程为Y＝0.47＋0.01X.所以当X＝6时，Y＝0.47＋0.01×6＝0.53.答案：0.50.53四、解答题(每小题10分，共20分)9．某产品的广告支出X(单位：万元)与销售收入Y(单位：万元)之间有如下数据：广告支出X(单位：万元)1234销售收入Y(单位：万元)12284256依据以上数据算得：yi＝138，xiyi＝418.(1)求出Y对X的回来直线方程Y＝X＋，并推断变量Y与X之间是正相关还是负相关；(2)若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少须要投入多少万元？【解析】(1)由表中数据得：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\x\to(y)＝eq\f(12＋28＋42＋56,4)＝34.5，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－4\x\to(x)2)＝eq\f(418－4×2.5×34.5,（12＋22＋32＋42）－4×2.52)＝14.6，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝34.5－14.6×2.5＝－2，所以回来直线方程为Y＝14.6X－2，且变量Y与X之间是正相关．(2)依题意有：Y＝14.6X－2≥144，解得X≥10，所以广告支出费用至少须要投入10万元．10．调查某公司的五名推销员，其工作年限与年推销金额如表：推销员ABCDE工作年限X(年)23578年推销金额Y(万元)33.546.58(1)在图中画出年推销金额关于工作年限的散点图，并从散点图中发觉工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回来直线方程；(3)利用(2)中的回来方程，预料工作年限为10年的推销员的年推销金额．【解析】(1)年推销金额关于工作年限的散点图如图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额正相关，即工作年限越长，年推销金额越大．(2)由表中数据可得：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(2＋3＋5＋7＋8)＝5，eq\x\to(y)＝e