2024-2025学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(二十五)直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知非零向量a，b，c分别为平面α，β，γ的法向量，且a∥b，b⊥c，则α与γ的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交D．重合A[由已知得a⊥c，故选A．]2．若eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，2，3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是()A．(1，7，5) B．(1，－7，5)C．(－1，－7，5) D．(1，－7，－5)C[经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与eq\o(OA,\s\up7(→))、eq\o(OB,\s\up7(→))垂直，故选C．]3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)A[由题意知：点P在平面α内⇔eq\o(MP,\s\up7(→))⊥n⇔eq\o(MP,\s\up7(→))·n＝0，经检验选项A符合题意．]4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)C．(1，1，1) D．(1，1，－1)C[设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y＝z．]5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于()A．0B．1C．eq\f(3,2)D．3A[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1，2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设eq\o(AB,\s\up7(→))＝km．∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．解得k＝－eq\f(1,2)，y＝z＝eq\f(3,2)．∴y－z＝0．]二、填空题6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，z))，其中z≠07．如图所示，正四棱锥S­ABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与eq\o(AD,\s\up7(→))的夹角等于________．45°[∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD．∴eq\o(AC,\s\up7(→))为平面SBD的一个法向量．∴〈eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝45°．]8．下列命题：①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，则l与m垂直；②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上)．①④[对于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，∴a·b＝1×2－1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1，1，1)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－1，1，0)．∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋u＋t＝0，,－1＋u＝0，))则u＋t＝1，④正确．综上，真命题的序号是①④．]三、解答题9．如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．[解](1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF＝eq\f(1,2)BC，又BC＝AD，∴EF＝eq\f(1,2)AD，则由EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴eq\o(FM,\s\up7(→))就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵DE⊂平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴eq\o(DE,\s\up7(→))是平面PBC的一个法向量，由(1)可知eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，∴eq\o(FM,\s\up7(→))就是平面PBC的一个法向量．10．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝eq\r(3)，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．[解]因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up7(→))的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，eq\r(3)，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，B(1，0，0)，C(1，eq\r(3)，0)，于是eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1，eq\r(3)，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝0，,\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)y，,z＝－\r(3)y，))令y＝－1，则x＝z＝eq\r(3)．所以平面ACE的一个法向量为n＝(eq\r(3)，－1，eq\r(3))．11．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交B[∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α．]12．直线l的方向向量为a，eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))是平行于平面α内两个不共线向量，下列关系中能推出l∥α的是()A．a＝eq\o(OA,\s\up7(→)) B．a＝keq\o(OB,\s\up7(→))C．a＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→)) D．以上均不能D[A、B、C均表示l∥α或l⊂α．]13．(多选题)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))B．eq\o(AA1,\s\up7(→))C．eq\o(B1B,\s\up7(→))D．eq\o(A1C1,\s\up7(→))BC[∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴eq\o(AA1,\s\up7(→))与eq\o(B1B,\s\up7(→))可以作为平面ABC的法向量．]14．(一题两空)如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________，点S与P距离的最小值是________．eq\f(\r(7),2)eq\f(\r(57),4)[由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，eq\r(3))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，设P(x，y，0)，则eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(\r(3),2)))，eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y，－\f(\r(3),2)))，由eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(MP,\s\up7(→))＝0得y＝eq\f(3,4)，∴点P的轨迹方程为y＝eq\f(3,4)．依据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),2)．由SP＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)＋(－\r(3)))2知，当x＝0时，点S与P距离的最小，其最小值为eq\f(\r(57),4)．]15．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1，2，－1)．(1)求证：PA⊥底面ABCD；(2)求四棱锥P­ABCD的体积；(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算(eq\o(AB,\s\up7(→))×eq\o(AD,\s\up7(→)))·eq\o(AP,\s\up7(→))的肯定值的值；说明其与四棱锥P­ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(eq\o(AB,\s\up7(→))×eq\o(AD,\s\up7(→)))·eq\o(AP,\s\up7(→))的肯定值的几何意义．[解](1)证明：∵eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB．又∵eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD．∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD．(2)设eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AD,\s\up7(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AD,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|·|\o(AD,\s\up7(→))|)＝eq\f(8－2,\r(4＋1＋16)·\r(16＋4))＝eq\f(3,\r(105))，V＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(AD,\s\up7(→))