复习案07等比数列（原卷版）

复习案07等比数列【知识回顾】1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.常用结论：1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为eq\f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.【重点题型剖析】题型一等比数列及其通项公式一、单选题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知数列an满足：对任意的m，n∈N∗，都有aman=A．320 B．±320 C．32．（2022·福建省永春第一中学高二阶段练习）已知数列an的通项公式为an=3×13A．以1为首项，13为公比的等比数列 B．以3为首项，1C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）数列an的前n项和Sn=2n+1−c，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（

）A．sinα,cosα,C．sin2α,cos5．（2022·安徽·六安二中高三阶段练习）若1,a2,a3,4成等差数列；A．12 B．−12 C．±6．（2022·山西·高三阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S10=244SA．3 B．2 C．4 D．－37．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））在等比数列{an}中，a1=1,A．16 B．16或－1C．32 D．32或－32二、多选题8．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）在等比数列{an}中，a2=2,a6A．−1 B．−2 C．2 D．49．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1aA．q=2 B．数列SnC．S8=510 D．数列三、填空题10．（2022·贵州·高二学业考试）已知等比数列{an}中，a1=2,a211．（2022·北京·日坛中学高三阶段练习）已知等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，T2=12．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn四、解答题13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=32，且an+1=λan+114．（2022·上海宝山·一模）已知数列an满足a1=1(1)求证：数列an(2)求数列an(3)写出i=15题型二等比数列的性质一、单选题1．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知等比数列an的各项均为正数，且a3⋅a7A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·江苏南京·高二阶段练习）若数列an为等比数列，且a2､a6是方程xA．−2 B．1 C．−1 D．±13．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知等比数列an，a3a10aA．1 B．2 C．4 D．84．（2022·山东·临沂第四中学高二阶段练习）在等比数列{an}中，且a3aA．16 B．8 C．4 D．25．（2023·山东济南·高三期中）已知等比数列an,a3aA．1 B．2 C．4 D．86．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等比数列an满足：a1+a3+aA．6332 B．6328 C．327．（2022·江苏省前黄高级中学高二阶段练习）正项等比数列an中，a2=2，a4A．4 B．8 C．32 D．648．（2022·山东·广饶一中高三阶段练习）若数列−9，m，x，n，−16是等比数列，则x的值是（

）A．12 B．±12 C．−12 D．−12.5二、填空题9．（2021·陕西·礼泉县第一中学高三期中（文））在等比数列an中，若a4⋅10．（2022·北京·日坛中学高三阶段练习）已知等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，T2=11．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）在各项均为正数的等比数列an中，a12a12．（2022·四川·德阳五中高二期中（文））正项等比数列an中，a4⋅13．（2021·陕西·韩城市新蕾中学（完全中学）高二期中（理））已知等比数列an中，a5a11=9a814．（2022·江苏省响水中学高二期中）已知数列an、bn满足bn=log2a题型三等比数列的函数特性一、单选题1．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知an是公比为q的等比数列，则“q>0”是“an为递增数列”的（A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·全国·高三专题练习）设an是公比为q的等比数列，则“q>1”是“a2022<A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2022·全国·高二单元测试）对于无穷数列an①若an既是等差数列，又是等比数列，则a②若等差数列an满足an≤2022③若等比数列an满足an≤2022④若各项为正数的等比数列an满足1≤an其中正确的命题个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·安徽·高三开学考试）设正项等比数列an的前n项乘积为Tn，已知a5=1,TA．最大值为32 B．最大值为1024C．最小值为132 D．最小值为5．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）无穷数列an的前n项和为Sn，满足SnA．an为等比数列 B．aC．an中存在三项成等差数列 D．a6．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知数列an是公比为q的等比数列，则“a1<a2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2022·天津·一模）在等比数列an中，公比是q，则“q>1”是“an+1>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2022·全国·高二课时练习）等比数列an中，首项a1<0，则数列an是严格递增数列的条件是公比A．q>1 B．q<1 C．0<q<1 D．q<09．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列an，下列选项能判断an为递增数列的是(A．a1>0，0<q<1 B．aC．a1<0，q=1 D．a二、多选题10．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知等比数列an满足a1>0，公比q>1，且aA．aB．当n=2021时，a1C．当n=1011时，a1D．存在n<1011，使得a11．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列an满足a1>0，公比q>1，且a1aA．a2024>1 B．当n=2022时，C．当n=1012时，a1a2⋅⋅⋅an12．（2022·全国·高二课时练习）关于递增等比数列an，下列说法正确的是（

A．当a1>0时，q>1 B．当aC．当a1<0时，0<q<1 13．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）以下叙述不正确的是（

）A．若等比数列{an}单调递减，则其公比B．等比数列{an}满足a1C．等差数列{an}满足a2D．公差为负的等差数列{an}满足a1=−6d，则当且仅当n=614．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列an满足a1>0，公比q>1，且a1aA．a2021>1 B．当n=2021时，C．当n=1011时，a1a2⋅⋅⋅an题型四等比数列的前n项和一、单选题1．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，且满足an+1A．4093 B．4094 C．4095 D．40962．（2022·青海·湟川中学一模（理））已知数列an为等差数列，Sn为等比数列bn的前n项和，且a2+a5=1，a7A．18 B．38 C．343．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（理））在等比数列an中，a1+a4=9，a4A．31 B．47 C．63 D．814．（2022·福建·高三阶段练习）在前n项和为Sn的等比数列an中，a2+a3=−2A．80 B．85 C．90 D．955．（2022·山西·高三阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S10=244SA．3 B．2 C．4 D．－36．（2019·吉林·四平市第一高级中学高二开学考试）在数列an中，已知对任意正整数n，有a1+a2A．2n−12C．4n−1 7．（2022·陕西省榆林中学高三阶段练习（理））《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍（

）A．4天 B．5天 C．6天 D．7天8．（2022·江西·九江一中高三阶段练习（理））等比数列an的前n项和为Sn，若a1=2，S5A．−2 B．2 C．14 D．−149．（2022·陕西商洛·高二期末（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·甘肃·兰化一中高三阶段练习（理））在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则下列说法：①此人第四天走了二十四里路；②此人第二天走的路程比后五天走的路程少九十里；③此人第二天走的路程占全程的14；④此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍.其中正确的有（

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．③④二、填空题11．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）记正项递增等比数列an的前n项和为Sn，若a312．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知等比数列an的首项为32，公比为−12，前n项和为Sn13．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）已知等比数列{an}满足:a1=1,a14．（2022·上海虹口·一模）已知首项为2的等比数列bn的公比为1三、解答题15．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28，且a(1)求数列an(2)设cn=an+bn16．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）（1）已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列（2）已知等比数列的首项为−1，前n项和为Sn.若S10S题型五等比数列的前n项和的性质一、单选题1．（2022·湖南岳阳·高二期中）等比数列an前n项和为Sn,S3=732,A．−15 B．−20 C．−22 D．−252．（2022·广西·灵川县潭下中学高三阶段练习（文））已知等比数列an的前n项和为Sn，且S45−SA．2+322 B．2 C．23．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设an为等比数列，设Sn和Tn分别为an的前n项和与前A．若S2023≥S2022，则Sn不一定是递增数列 C．若Sn为递增数列，则可能存在a2022<a2021 4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）Sn为等比数列an的前n项和，且S7A．x2+3x−45=0 C．x2−3x−45=0 5．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于（

）A．－510 B．400C．400或－510 D．30或406．（2021·江苏·沭阳县修远中学高二阶段练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝4，S6＝36，则公比q＝（）A．2 B．±2 C．4 D．27．（2022·重庆·高二期末）已知等比数列an各项均为正数，且3a12，a34，A．27 B．18 C．9 D．18．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3=10，S6A．20 B．30 C．40 D．509．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）等比数列an中，a1+a2+aA．90 B．120 C．240 D．480二、多选题10．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列an的前n项和为SA．若Sn=n+1B．若Sn=2C．若an是等差数列，则D．若an是等比数列，则S11．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn，则下列结论一定正确的是（A．若m+n=s+t，(m,n,s,t∈B．若am⋅anC．当q>1时，数列anD．若Sn=kqn三、填空题12．（2022·江苏连云港·高二期末）在等比数列an中，q=12，S13．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设Sn是等比数列an的前n项和，若S314．（2022·四川·攀枝花七中高一阶段练习（理））设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3【综合检测】等比数列综合检测卷一、单选题1．（2022·山东·模拟预测）已知等比数列an满足：a2+a4+aA．20 B．10 C．5 D．52．（2023·全国·高三专题练习）方程x2−5x+4=0的两根的等比中项是（A．−2和2 B．1和4 C．2和4 D．2和13．（2021·广西桂林·高二阶段练习（理））已知数列an､bn的通项公式满足3an+1=anA．1681 B．89 C．6814．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有1−12+13A．假设n=kk∈B．假设n≥kk∈C．假设n=2kk∈D．假设n=2k+15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=2，an+1=anA．2n−1 B．2n−1 C．22n−16．（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（

）A．334 B．1 C．327．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1=1，an+1=anA．12<S100<3 B．3<S8．（2023·全国·高三专题练习）已知△AnBnCn(n=1,2,3,⋯)是直角三角形，An是直角，内角AnA．S2n是递增数列 B．SC．数列bn−cn存在最大项二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知an为等差数列，满足2a2−a4=1，bA．数列an的首项比公差多1 B．数列anC．数列bn的首项为2 D．数列bn10．（2021·江苏·高二单元测试）已知等比数列an中，满足a1=1，公比q=−3A．数列3aB．数列an+1C．数列anD．数列log311．（2022·全国·高二课时练习）记数列an的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N∗，都有SnA．若数列an是等差数列，且公差d=0，则数列aB．若数列an是等差数列，且数列anC