新高考数学二轮复习 专题突破 专题4 第1讲　空间几何体（含解析）

第1讲空间几何体[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．考点一三视图与直观图核心提炼1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．3．S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图．例1(1)(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．20答案B解析三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2×2＝12.(2)如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________．答案eq\f(\r(6),2)a2解析如图，过点C′作C′M′∥y′轴，交x′轴于点M′，过点C′作C′D′⊥x′轴，交x′轴于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(3),2)a，∠C′M′D′＝45°，则C′M′＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形的高CM＝eq\r(6)a，底边长为a，其面积为S＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.规律方法由三视图还原直观图的方法(1)注意图中实、虚线，分别是原几何体中的可视线与被遮挡线．(2)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整，准确画出原几何体．(3)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体．跟踪演练1(1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______(写出符合要求的一组答案即可)．答案③④(答案不唯一，②⑤也可)解析根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．(2)(2022·运城模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图2所示，其中O′A′＝O′B′，O′C′＝eq\r(3)，则该几何体的表面积为()A．36＋12eq\r(3) B．24＋8eq\r(3)C．24＋12eq\r(3) D．36＋8eq\r(3)答案C解析由俯视图的直观图，可得该几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是4eq\r(3)，由正视图和侧视图知该几何体是三棱锥，如图所示，其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC都是直角三角形，且S△SAB＝S△SAC＝eq\f(1,2)×SA×AB＝eq\f(1,2)×6×4＝12，△SCB是腰长为2eq\r(13)，底边长为4的等腰三角形，则S△SCB＝eq\f(1,2)×4×eq\r(2\r(13)2－22)＝8eq\r(3)，所以该几何体的表面积为24＋12eq\r(3).考点二表面积与体积核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2．空间几何体的体积公式(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．(3)V台＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下为底面面积，h为高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径)．例2(1)(2022·凌源模拟)五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式．如图所示，其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为()A.eq\f(32,3)立方米 B.eq\f(64,3)立方米C．32立方米 D．64立方米答案B解析如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，三棱柱的底面是边长为4，高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.四棱锥的底面是长为4，宽为1的矩形，其高为2，所以V＝eq\f(1,2)×4×2×4＋2×eq\f(1,3)×4×1×2＝eq\f(64,3)(立方米)．(2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)答案C解析方法一因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合eq\f(S甲,S乙)＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\r(5)，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝2eq\r(2)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).方法二设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，则由eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(\f(n1πl2,2π),\f(n2πl2,2π))＝2，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)＝2.由题意知n1＋n2＝2π，所以n1＝eq\f(4π,3)，n2＝eq\f(2π,3)，所以2πr1＝eq\f(4π,3)l，2πr2＝eq\f(2π,3)l，得r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\f(\r(5),3)l，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).规律方法空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．跟踪演练2(1)(2022·锦州质检)2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是()A．24(eq\r(3)＋1) B．24eq\r(3)＋6C．48eq\r(3)＋24 D．16eq\r(3)＋8答案C解析边长为2的正方形的面积为2×2＝4，正六边形的面积为6×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8(个)．所以该多面体的表面积是S＝8×6eq\r(3)＋6×4＝48eq\r(3)＋24.(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是()A.eq\f(7\r(2)π,24)B.eq\f(7\r(3)π,24)C.eq\f(7\r(2)π,12)D.eq\f(7\r(3)π,12)答案B解析如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，则2πr＝π·1,2πR＝π·2，解得r＝eq\f(1,2)，R＝1，l＝2－1＝1，h＝eq\r(l2－R－r2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，上底面面积S′＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(π,4)，下底面面积S＝π·12＝π，则该圆台的体积为eq\f(1,3)(S＋S′＋eq\r(SS′))h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)＋\f(π,2)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(7\r(3)π,24).考点三多面体与球核心提炼求空间多面体的外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．例3(1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为()A．(2－eq\r(3))∶1 B．(2eq\r(3)－3)∶1C．(eq\r(3)－1)∶3 D．(eq\r(3)－1)∶2答案C解析因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，又因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径R＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22＋22)＝eq\r(3)，设该三棱锥的内切球的半径为r，因为∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，所以VB＝VC＝eq\r(VA2＋AB2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，由三棱锥的体积公式可得，3×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2·r＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)·r＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2⇒r＝eq\f(3－\r(3),3)，所以r∶R＝eq\f(3－\r(3),3)∶eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)∶3.(2)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1－h2)h，则V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)，令V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)＝0，得h＝eq\f(\r(3),3)(负值舍去)，所以V＝eq\f(1,3)π(1－h2)h在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上单调递减，所以当h＝eq\f(\r(3),3)时，四棱锥的体积最大．规律方法(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．跟踪演练3(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100π B．128πC．144π D．192π答案A解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝3，eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×4eq\r(3)＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OOeq\o\al(2,1)＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OOeq\o\al(2,2)＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.(2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的体积为________．答案eq\r(6)eq\f(8\r(2),3)π解析如图，连接PA交底面BCD于点O，则点O就是该组合体的外接球的球心．设三棱锥的底面边长为a，则CO＝PO＝R＝eq\f(\r(3),3)a，得eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)a＝2，所以a＝eq\r(6)，R＝eq\r(2)，所以V＝eq\f(4,3)π·(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.专题强化练一、选择题1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为()A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶3答案A解析设球的半径为r，依题意知圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积为2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)答案B解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl，解得l＝2eq\r(2).3.(2022·福州模拟)已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面△ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，则此三棱柱的表面积为()A．4＋4eq\r(2) B．8＋4eq\r(2)C．8＋4eq\r(5) D．8＋8eq\r(5)答案C解析由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面△ABC的原图形如图所示，其中OA＝2OB＝2OC＝2，所以AB＝AC＝eq\r(5)，所以此三棱柱的表面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋(2＋2eq\r(5))×2＝8＋4eq\r(5).4．(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)答案D解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝eq\r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq\r(2)，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).5．(2022·河南湘豫名校联考)高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5eq\r(10)a，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为()A．154πa2B.eq\f(616,3)πa2C．308πa2D．616πa2答案D解析画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，如图所示．根据题意，设垃圾篓的高为h，则h＝eq\r(13a2－12a－9a2)＝4eq\r(10)a.所以球心到上底面的距离为eq\r(10)a.设篮球的半径为r，则r2＝10a2＋(12a)2＝154a2.故该篮球的表面积为4πr2＝616πa2.6．(2022·西北工业大学附属中学模拟)如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在正方形A1B1C1D1内(包含边界)，若三棱锥P－ABC的侧视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可能是()答案D解析如图(1)所示，当点P为A1D1的中点时，此时三棱锥P－ABC的俯视图为选项C；如图(2)所示，当点P为B1C1的中点时，此时三棱锥P－ABC的俯视图为选项B；如图(3)所示，取A1D1和B1C1的中点E和F，连接EF，当点P为EF的中点时，此时三棱锥P－ABC的俯视图为选项A，所以此三棱锥P－ABC的俯视图不可能是选项D.7.(2022·湖北联考)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm～25mm)，大雨(25mm～50mm)，暴雨(50mm～100mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A．小雨 B．中雨C．大雨 D．暴雨答案B解析由题意知，一个半径为eq\f(200,2)＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为eq\f(200,2)×eq\f(150,300)＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水厚度d＝eq\f(\f(1,3)π×502×150,π×1002)＝12.5(mm)，属于中雨．8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2eq\r(3)，AA1＝6，∠ACB＝30°，则此直三棱柱的外接球的表面积是()A．48πB．64πC．72πD．84π答案D解析如图所示，设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(2\r(3),sin30°)＝4eq\r(3)，解得r＝2eq\r(3).设直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球半径为R，所以R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AA1,2)))2)＝eq\r(21)，所以该直三棱柱外接球的表面积是S＝4πR2＝84π.9.如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是()A．3eq\r(2)B．3eq\r(3)C．2eq\r(3)D．2eq\r(2)答案D解析将三棱锥由PA展开，如图所示，则∠APA1＝90°，所求最短距离为AA1的长度，∵PA＝2，∴由勾股定理可得AA1＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).∴虫子爬行的最短距离为2eq\r(2).10.(2022·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的eq\f(1,3)，则EF的最小值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)答案D解析由题知VB－AEF＝eq\f(1,3)VB－ACD，所以S△AEF＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，记EF＝a，AE＝b，AF＝c，则eq\f(1,2)bcsin60°＝eq\f(\r(3),12)，即bc＝eq\f(1,3).则a2＝b2＋c2－2bccos60°≥2bc－bc＝bc＝eq\f(1,3)，当且仅当b＝c＝eq\f(\r(3),3)时取等号，所以a即EF的最小值为eq\f(\r(3),3).11．(2022·聊城模拟)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项错误的是()A．底面椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)B．侧面积为24eq\r(2)πC．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36πD．底面积为4eq\r(2)π答案C解析不妨过斜圆柱的最高点D和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知∠ABF＝45°，则BF＝eq\r(2)AB，设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a＝eq\r(2)·2b，a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，A正确；EG⊥BF，垂足为G，则EG＝6，易知∠EBG＝45°，则BE＝6eq\r(2)，又CE＝AF＝AB＝4，所以斜圆柱的侧面积为S＝2π×2×(4＋6eq\r(2))－2π×2×4＝24eq\r(2)π，B正确；2b＝4，b＝2,2a＝4eq\r(2)，a＝2eq\r(2)，椭圆面积为πab＝4eq\r(2)π，D正确；由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，则球的表面积为4π×22＝16π，C错误．12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3eq\r(3)，则该正四棱锥体积的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18，\f(81,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(81,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))) D．[18,27]答案C解析方法一如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，依题意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.由题意及图可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2＝h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，,R2＝h－R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(l2,2R)＝\f(l2,6)，,a2＝2l2－\f(l4,18)，))所以正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l2－\f(l4,18)))·eq\f(l2,6)＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))(3≤l≤3eq\r(3))，所以V′＝eq\f(4,9)l3－eq\f(l5,54)＝eq\f(1,9)l3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(l2,6)))(3≤l≤3eq\r(3))．令V′＝0，得l＝2eq\r(6)，所以当3≤l<2eq\r(6)时，V′>0；当2eq\r(6)<l≤3eq\r(3)时，V′<0，所以函数V＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))(3≤l≤3eq\r(3))在[3,2eq\r(6))上单调递增，在(2eq\r(6)，3eq\r(3)]上单调递减，又当l＝3时，V＝eq\f(27,4)；当l＝2eq\r(6)时，V＝eq\f(64,3)；当l＝3eq\r(3)时，V＝eq\f(81,4)，所以该正四棱锥的体积的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))).方法二如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，依题意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.由题意及图可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2＝h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，,R2＝h－R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(l2,2R)＝\f(l2,6)，,a2＝2l2－\f(l4,18)，))又3≤l≤3eq\r(3)，所以该正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l2－\f(l4,18)))·eq\f(l2,6)＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))＝72×eq\f(l2,36)·eq\f(l2,36)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))≤72×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\f(l2,36)＋\f(l2,36)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18))),3)))3＝eq\f(64,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(l2,36)＝2－\f(l2,18)，即l＝2\r(6)时取等号))，所以正四棱锥的体积的最大值为eq\f(64,3)，排除A，B，D.方法三如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面边长为a，高为h，正四棱锥的侧棱与高所成的角为θ，依题意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3，所以正四棱锥的底面边长a＝eq\r(2)lsinθ，高h＝lcosθ.在△OPC中，作OE⊥PC，垂足为E，则可得cosθ＝eq\f(\f(l,2),R)＝eq\f(l,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以l＝6cosθ，所以正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)(eq\r(2)lsinθ)2·lcosθ＝eq\f(2,3)(6cosθ)3sin2θcosθ＝144(sinθcos2θ)2.设sinθ＝t，易得t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则y＝sinθcos2θ＝t(1－t2)＝t－t3，则y′＝1－3t2.令y′＝0，得t＝eq\f(\r(3),3)，所以当eq\f(1,2)<t<eq\f(\r(3),3)时，y′>0；当eq\f(\r(3),3)<t<eq\f(\r(3),2)时，y′<0，所以函数y＝t－t3在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),2)))上单调递减．又当t＝eq\f(\r(3),3)时，y＝eq\f(2\r(3),9)；当t＝eq\f(1,2)时，y＝eq\f(3,8)；当t＝eq\f(\r(3),2)时，y＝eq\f(\r(3),8)，所以eq\f(\r(3),8)≤y≤eq\f(2\r(3),9)，所以eq\f(27,4)≤V≤eq\f(64,3).所以该正四棱锥的体积的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))).二、填空题13.(2022·湘潭模拟)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1，h2，r，且h1＝h2＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则eq\f(S1,S2)＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析由题意知，圆锥的母线长为l＝eq\r(h\o\al(2,1)＋r2)＝eq\r(2)r，则圆锥的侧面积为S1＝πrl＝eq\r(