“鸡兔同笼”单元教学中数学思想方法的渗透

数学思想方法的渗透可以加深学生对所学知识的理解，降低学习难度，拓展学生思维，是教师培养和发展学生数学核心素养的重要途径。“鸡兔同笼”是人教版数学四年级下册的内容，具有渗透数学思想方法、积累数学基本活动经验等教学功能，具有较大的探究空间。本文结合“鸡兔同笼”单元内容，阐述其所蕴含的穷举法、假设法、化归法等数学思想方法的内涵，并通过具体案例探讨这些数学思想方法在单元教学中渗透的过程。一、穷举法——解决“鸡兔同笼”问题的基础方法穷举法的基本思想是在解决有关计数问题时，如果需要计算的次数不多，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，逐一验证，若某个情况符合题目的全部条件，则为所求的一个解，若都不符合则无解。教师可以出示如下例题教学穷举法：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”穷举法的本质是先猜测鸡、兔各几只，并按顺序列举出所有可能（如下表所示），再根据总结出的关系式找出正确答案，即鸡有3只、兔有5只时脚有26只。列表后，教师可以引导学生用画图法直观地表示出鸡和兔的数量变化所引起的脚的总只数的变化，同样可以获得鸡有3只、兔有5只时脚总数为26只的结果。教学列表法和画图法后，教师可以引导学生说一说这两种方法的优劣，即当鸡和兔的数量比较少时用这两种方法比较简便，但数量大了，这两种方法使用起来就不方便了，从而引出使用假设法解决问题的必要性。二、假设法——解决“鸡兔同笼”问题的一般方法假设法就是根据题目中的已知条件或结论做出某种假设，然后根据已知条件推算，最后根据数量上出现的矛盾做适当调整，从而找到正确答案。假设法本质上是转化的思想方法。用假设法解决一般的“鸡兔同笼”问题。教师可以将两种动物都假设成鸡或兔，引导学生计算相应的头数和脚数，并与实际数量做对比，然后通过调整鸡或兔的只数使脚的数量与实际相符，从而得到所求问题的答案。具体地讲，假设8只都是鸡，则应有“8×2＝16”只脚，比实际脚数少“26－16＝10”只，说明8只鸡中有一些是兔子，每用1只兔换走1只鸡，可增加“4－2＝2”只脚，所以共有兔“10÷2＝5”只，则鸡有“8－5＝3”只。假设8只都是兔，也可以得到相同的答案。分析两种假设方法后，教师可以引导学生归纳出用假设法解决鸡兔同笼问题的步骤“假设—比较—调整—验证”，以强化学生对假设法结构特点的认知。用假设法解决生活中的问题——“鸡兔同笼”变式题。例如，教材练习中的第6题第（1）小题：“学校举办知识抢答比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分，3号选手共抢答8题，最后得64分。他答对了几题？”教师要重点引导学生理解“加10分”对应“兔脚”，“扣6分”对应“鸡脚”，“8题”对应“总头数”，“64分”对应“总脚数”。如此，学生就能模仿上题的解法来解题：假设8题全对，应得“8×10=80”分，比实际得分多“80-64=16”分，答错1题比答对1题少得“10+6=16”分（这是本题的难点），所以，答错的题数为“（80-64）÷（10+6）=1”道，则答对的题数为“8-1=7”道，再用“7×10-6=64”验证结果正确。最后，学生归纳：解决“鸡兔同笼”变式题，关键是找到变式问题与原问题中各数量的对应关系，形成解决此类问题的一般策略。三、化归法——对复杂“鸡兔同笼”问题进行转化“化归”就是转化、归结的意思。数学中的化归思想方法就是把直接應用已有知识不能或不易解决的问题，转化为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。用化归法对古代数学趣题进行转化。教材主题图给出《孙子算经》中的趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？教材化繁为简，将问题转化为“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”这样转化后，学生可以更好地利用画图法和列表法解决问题。用化归法对练习中的拓展题进行转化。教材在练习中给出《算法统宗》中的“百僧百馍”问题：“100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。大、小和尚各多少人？”这道题的难点是，如果用常规的假设法解答会出现分数，四年级学生还没有学习分数除法，需要用化归思想把分数转化为整数来计算。首先，假设1个小和尚吃的为1份，则1个馒头为3份，同理，1个大和尚吃的是9份；其次，假设100人都是小和尚，比实际少吃了“100×3-100×1=200”份，每用1个大和尚替换1个小和尚就会多吃“9-1=8”份，所以大和尚人数为“200÷8=25”人，则小和尚人数为“100-25=75”人。用化归法对多个对象的“鸡兔同笼”问题进行转化。在寒假、暑假作业或综合复习题中会出现多个对象的“鸡兔同笼”问题，我们可以通过合并对象，将问题简化为两个对象的问题来解决。例如：蜘蛛、蜻蜓、蝉共18只，它们共有118条腿、20对翅膀（蜘蛛有8条腿；蜻蜓有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀），蜻蜓有多少只？解决此题，我们首先应把都有6条腿的蜻蜓和蝉看成一类（暂不考虑翅膀数量），根据蜘蛛有8条腿、蜻蜓和蝉都有6条腿，以及它们一共有118条腿，用假设法得到蜘蛛有“（118-6×18）÷（8-6）=5”只，那么，蜻蜓和蝉共有“18-5=13”只；然后，根据蜻蜓和蝉的翅膀数量推算它们各有多少只，即蜻蜓有“（20-1×13）÷（2-1）=7”只，蝉有“20-7=13”只。四、对应法——古人解决“鸡兔同笼”问题的方法对应思想指人的思维对两个集合间联系的把握，即利用数量间的对应关系思考数学问题。寻找数量之间的对应关系是解答应用题的一种重要的思维方式。我们分析上文所述古代趣题“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？”原本鸡是1个头对应2只脚，兔是1个头对应4只脚。为了求出鸡和兔的数量，古人进行了下面的操作：每只鸡抬起一只脚，每只兔抬起两只脚，使脚的总数减少一半，即为“94÷2=47”只，此时对应关系变为1个鸡头对应1只脚、1个兔头对应2只脚。根据对应思想，47与35的差12就是多出来的兔脚数量，也就是兔的数量，即兔的只数为“47-35=12”只。对应思想贯穿小學数学教材，在教学中的渗透形式多种多样，集合、函数、坐标等问题都以这一思想为基础。教学中，教师要适时引导学生构建对应关系，让学生在解决问题的过程中形成学科关键能力。五、分组法——解决较复杂“鸡兔同笼”问题的另一策略对于比较复杂的“鸡兔同笼”问题，我们要借助分组法进行解答。分组法其实也是一种转化的思想方法。所谓“分组”，就是把一定只数的鸡和兔“捆”在一起考虑。计算时，通过头数或腿数算出“捆”数，进而求出对应的只数。用分组法解决“鸡兔同笼”问题并不是一定要把1只鸡和1只兔分成一组，而是应该根据题目条件决定如何分组。题目中的倍数关系往往是分组的依据，概括起来主要有以下几种类型：①如果知道两种动物的数量差，那么每组中应各有一个；②如果知道两种动物的倍数关系，就按照倍数关系分组；③如果两种动物数量的关系是几倍多几或几倍少几，则可通过“减多余”或“补不足”凑成整数倍，然后求解；④“头倍腿和”“头倍腿差”两种类型的问题都要先分组，前者要找出每组所对应的“腿和”，后者要找出每组所对应的“腿差”；⑤“腿倍”题型，可以将“腿倍”转化为“头倍”再求解。例如“百僧百馍”问题，我们可以根据大和尚一人吃3个、小和尚3人吃一个，把1个大和尚与3个小和尚看成1组，则每组吃4个馒头，100个馒头对应的组数为“100÷（3+1）=25”组，则大和尚人数为“25×1=25”人，小和尚人数为“100-25=75”人。又如，解决问题“鸡兔同笼，共有头51个，兔的总脚数比鸡的总脚数的3倍多4只。笼中共有多少只兔？”我们要将题目中的“腿倍”转化为“头倍”。转化前，我们要先把多出的4只减掉，也就是说，如果去掉1只兔，那么鸡、兔共有50只，兔的总脚数恰好是鸡的总脚数的3倍，由“兔的总脚数=鸡的总脚数×3”转化得“兔的总只数×4=鸡的总只数×2×3”，推出“兔的总只数×2=鸡的总只数×3”。由此，我们可以把3只兔和2只鸡“捆”在一起看成一组，用“50÷（3+2）=10”得出10组，所以，兔有“3×10+1=31”只。再如，天上一群九头鸟和地上一群九尾狐商量一起去吃唐僧，九头鸟有九头一尾，九尾狐有九尾一头，孙悟空将它们抓起来关进笼子里，猪八戒在笼子外数出了134个头和166条尾巴，算一算九头鸟、九尾狐各有多少只。解答时，我们可以把1只九头鸟和1只九尾狐分成一组，如下图粗线左边这些组中，每组的总头数和总尾数是相等的。由题中条件知道，总尾数166比总头数134多，那么分完组后剩下的一定是九尾狐，如下图粗线的右边所示。1只九尾狐的尾巴数比头数多8，总尾巴数比总头数多“