专题12空间向量与空间向量基本定理B-《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性单元测试AB卷》

专题1.2空间向量与空间向量基本定理(B）第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】解：，，，，故选；A2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设，，，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据向量是线性运算法则，计算即可得答案.【详解】由题意得=.故选：A3．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C4．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可【详解】，其中为中点，有，故可知，则知为的中点，故点满足，．故选：A5．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．6．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.【详解】解：，，，，所以，故选：B7．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A､B､C､D､E是空间中的五个点，其中点A､B､C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x､y，使得.若存在实数x､y，使得，则，，共面则平面ABC或平面ABC.所以“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的充分而不必要条件.故选：A.8．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：，则，，，，，，所以，故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.【详解】选项A：.判断正确；选项B：.判断错误；选项C：.判断正确；选项D：.判断错误.故选：AC10．（2022·广东广州·高二期末）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量基本定理逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，由图可知、不共线，则，C错；对于D选项，，D错.故选：AB.11．（2022·湖南·湘府中学高一期末）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确；对于B，若对空间中任意一点O，有因为，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面∵，则共面∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．故选：ABC．12．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（

）A．对任意点M，N，都有MN与AD异面B．存在点M，N，使得MN与BC垂直C．对任意点M，存在点N，使得与，共面D．对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等【答案】ACD【解析】【分析】A选项，首先不可能与AD相交，其次证明AD与MN不可能平行，故A正确；B选项，证明出BC⊥平面ADF，因为直线AB与CD分别与平面ADF的交点为A，D，但M，N与A，D不会重合，故B错误；C选项，作出辅助线，得到存在，使得，由空间向量性质可知C正确；D选项，作出辅助线，对于任意点M，找到点N，得到MN与AD，BC所成的角，利用相似和余弦定理得到MN与AD，BC所成的角相等.【详解】A选项，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，故不可能与AD相交，过点M作ME∥AD交BD于点E，MN与ME相交，故AD与MN不可能平行，综上：对任意点M，N，都有MN与AD异面，A正确；B选项，取BC中点F，连接AF，DF，因为四面体ABCD为正四面体，所以AF⊥BC，DF⊥BC，因为，所以BC⊥平面ADF，因为直线AB与CD分别与平面ADF的交点为A，D，但M，N与A，D不会重合，故BC不可能与MN垂直，B错误；C选项，对于任意点M，作ME∥AD交BD于点E，过点E作EN∥BC交CD于点N，连接MN，此时，故存在，使得，所以对任意点M，存在点N，使得与，共面，C正确；D选项，对任意的点M，在CD上取点N，使得CN=AM，则，过点M作ME∥AD交BD于点E，过点N作NF∥BC交BD于点F，则为MN与AD形成的角，∠MNF为MN与BC形成的角，且FN=EM，DE=BF，由BM=DN，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF得：△BMF≌△DNE，所以MF=EN，由余弦定理得：，，由于三边对应相等，故∠MNF=∠NMF，对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等，D正确.故选：ACD【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·上海黄浦·二模）在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的加法法则求解即可【详解】由题意，故答案为：14．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．【答案】【解析】【分析】利用向量数量积求得向量的模，即可求得线段的长【详解】则即线段的长为故答案为：15．（2022·全国·高二）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.【答案】##【解析】【分析】如图，在正三棱锥中，以为基底，，，利用向量数量积性质进行计算即可得解.【详解】根据题意为正四面体，两两成角，所以，，所以.故答案为：16．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．【答案】##0.125【解析】【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.【详解】连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，则平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中点，则，又，，当且仅当取“=”，所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．【答案】共面【解析】【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合空间向量的共面定理，即可求解.【详解】根据空间向量的运算法则，可得：，又由空间向量的共面定理，可得向量与，共面．18．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，是的中点．(1)设，，，用向量、、表示；(2)设，，，用向量、、表示．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据向量加法运算求解即可；（2）由题知，进而得，，，再根据求解即可.(1)解：如图，根据向量加法法则得：.(2)解：由（1）得，因为，所以，，,所以，19．（2022·全国·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．【答案】C、E、F三点共线【解析】【分析】利用空间向量的基本定理和共线向量定理求解.【详解】解：设，，，，，，，因为，所以，又因为、有公共点C，所以C、E、F三点共线．20．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．(1)化简；(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．【答案】(1)；(2)，，.【解析】【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.(1)∵是平行六面体，∴(2)∵，又，∴，，.21．（2022·全国·高二课时练习）已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)判断与是否垂直；(3)求异面直线BD与AC所成角的余弦值．【答案】(1)，；(2)与不垂直；(3)﹒【解析】【分析】(1)根据空间向量的线性运算即可求解；(2)判断是否为零即可判断与是否垂直；(3