专题01相交线与平行线教材讲练-2021-2022学年七年级数学下册高频考点专题突破（北师大版）（原卷版）

专题01相交线与平行线教材同步讲练知识点11余角、补角、对顶角的概念和性质1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．变式1．（2021·广东揭阳市·七年级期中）下面各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．变式2．（2021·成都·七年级课时练习）如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是____度，你的根据是____________．例2．（2021·山东临沂市·七年级期末）已知，，则与的关系为（）A．相等 B．互余 C．互补 D．以上都不对5．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（）A．与相等B．与互余C．与互补D．与互余例2．（2021·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOE的大小为（）A．72°B．98°C．100°D．108°变式3．（2021·安徽合肥市·七年级期末）如果和互余，则下列式子中表示补角是（）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④例3．（2021·北京海淀区·北大附中七年级期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互补的是（）A．B．C． D．变式4．（2021·湖北随州市·七年级期末）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°变式5.（2021·浙江嘉兴市·七年级期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（）A． B． C． D．例4．（2021·江苏扬州·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．变式6．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OE在内部，OA平分．（1）当时，写出图中所有与互补的角．（2）当时，求的度数．知识点12垂线的概念和性质1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外：=1\*GB3①必须强调在同一平面内；=2\*GB3②点可在直线外，也可在直线上。（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度例1．（2021·河南郑州·七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC变式1．（2021·全国·七年级课时练习）下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有（）个．（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．（2）两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1变式2．（2021·全国·七年级课时练习）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）．A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角例2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知直线AB、CD相交于点O，且A、B和C、D分别位于点O两侧，OE⊥AB，，则____________．变式3．（2021·安徽·铜陵市第十五中学七年级期中）如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是__________．例3．（2021·辽宁·营口市老边区教师进修学校七年级期中）平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．（1）如图1，若，求数；（2）在图1中，若，请求出的度数（用含有的式子表示），并写出和的数量关系；（3）如图2，当，在直线的同侧时，和的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．变式4．（2021·江苏盱眙·七年级期末）如图，点O在直线AB上，OC．OD是两条射线，OC⊥OD，射线OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度数．（2）若∠DOE＝α，则∠AOC＝.（请用含α的代数式表示）；变式5．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．（1）求的度数；（2）求的度数．例4．（2021·全国·七年级单元测试）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索（回顾）（1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由（探索）（2）如图②，在村庄附件有一个生态保护区，现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，从村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点的位置（3）如图③，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且村到村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）变式6．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，汽车站、码头分别位于两点，直线b和波浪线分别表示公路与河流．（1）从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；（2）从码头B到公路b怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．（请画在答题卷相对应的图上）变式7．（2021·浙江宁波市·七年级期末）（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．（2）线段的长度是点A到直线BC的距离．（3）线段AG、AH的大小关系为AGAH．（用符号>，<，=，表示）．理由是．知识点13同位角、内错角、同旁内角的概念1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。注：如下图，位置相同指：=1\*GB3①两个角都在第三条直线c的同一侧；=2\*GB3②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）注：如下图，位置完全错开指：=1\*GB3①两个角在第三条直线c的不同侧；=2\*GB3②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。注：如下图，同旁内角指：=1\*GB3①两个角在第三条直线c的同一侧；=2\*GB3②且两个角在a、b两条直线的内侧例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。例1．（2021·广西钦州·七年级期末）如图，下列各组角中是同位角的是（）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4变式1．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）例2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，直线AB与CD被直线AC所截得的内错角是___．变式2．（2021·辽宁沈河·七年级期末）下列四个图形中，和是内错角的是（）A． B．C．D．例3．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同旁内角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5变式3．（2021·江苏·七年级期中）如图所示，直线a,b被直线c所截，则与是（）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角例4.（2021·盐城市·七年级月考）如图，下列说法正确的是（）A．∠2和∠4是同位角B．∠2和∠4是内错角C．∠1和∠A是内错角D．∠3和∠4是同旁内角变式4．（2021·四川渠县·七年级期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是______．（只填序号）例5.（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）如图所示，用数字表示的8个角中，若同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则ab﹣c＝___．变式5．（2020·南通市启秀中学七年级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了______对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为、、，图中一共有______对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．（4）平面内条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．知识点14平行线的概念1）同一平面两条直线间的关系：=1\*GB3①平行；=2\*GB3②相交2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线注：=1\*GB3①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；=2\*GB3②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。例1．（2021·河北沧县·七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行变式1．（2021·陕西宝鸡期末）下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（2021·河北平泉·一模）如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条变式2．（2021·河北兴隆·九年级期中）已知直线，在同一平面内，给定一点，过点作直线的平行线，可作平行线的条数有（）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条例3．（2021·牡丹江市田家炳实验中学初一期中）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；（4）三条直线两两相交，有三个交点；（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的有________个变式3．（2021·辽宁·初一期中）若直线，，则直线与的位置关系是__________．变式4．（2021·云南镇康·初一期中）已知：如图，梯形ABCD．（1）过点A画直线AE∥CD交BC于E；（2）过点A画线段AF⊥BC于F；比较线段AE与AF的大小：AEAF（直接用“＞”“＝”或“＜”填空）．知识点15平行线的判定1）判定方法一：同位角相等，两直线平行2）判定方法二：内错角相等，两直线平行3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。例1．（2021·汉中市南郑区初一期中）已知平面上五条直线，，，和相交的情形如图所示，根据图中标出的角度，下列叙述正确的是()A．和不平行，和平行，和平行B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行D．和平行，和不平行，和不平行变式1．（2021·山西期末）如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（）A．°B．C．D．例2．（2021·上海市市西初级中学初一期中）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行变式2．（2021·山西初一月考）工人师傅在工程施工时，在图纸上画了一条管道的示意图（如图所示），经测量得到，，那么（）A． B． C． D．与相交例3．（2021·山西模拟）下列图形中，根据，能得到的是（）A．B．C．D．变式3．（2021·洛阳市第四职业高中期中）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°变式4．（2021·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，下列条件：①；②；③；;⑤；其中能判断直线的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④变式5．（2020·江苏徐州市·七年级期末）如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能说明AB∥DC的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个知识点16平行线的性质1）两直线平行，同位角相等;2）两直线平行，内错角相等;3）两直线平行，同旁内角互补注：=1\*GB3①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。=2\*GB3②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。4）同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫作这两条平行线间的距离。注：a.只有平行线间才存在距离这一说法。（重叠，距离为0）；b.平行线间的距离，处处相等；c.垂直于一条直线，一定垂直于另一条平行线（易证）例1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°变式1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，，则（）A．50° B．60° C．70° D．80°例2．（2021·河北张家口·初三二模）如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则A． B． C． D．变式2．（2021·陕西初三其他）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF＝（）A．70° B．110° C．20° D．120°例3．（2021·河北初三其他）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°变式3．（2021·山西初一月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（）A． B． C． D．例4．（2021·深圳市高级中学初二月考）已知：如图，，则，，之间的关系是A．B．C．D．变式4．（2021·海安市白甸镇初级中学七年级月考）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝()A．∠1＋∠2B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1例5．（2020·四川郫都·期末）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）A．180° B．270° C．360° D．450°变式5．（2021·河南沁阳·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2021·山东新泰·七年级期末）（1）已知：如图1，．求证：（2）如图2，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．变式6．（2021·湖北十堰·七年级期末）已知ABCD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系；（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：