概率复习教案1 人教课标版

选修概率复习讲义

随机变量及其分布知识点：

离散型随机变量及其及布

16.随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果

的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母、等或希腊字母&、

n等表不。

17.离散型随机变量：在射击、产品检验等例子中，对于随机变量可能取的值，我们可以按一

定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

、离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量可能取的值为,••…

取每一个值(,……)的概率(&)=,则称下表为离散型随机变量的概率分布，简称分布列

XX1X2・・・Xi•・・Xn

PpiP2・・・Pi・・・P"

、分布列性质①;②….

、二点分布：如果随机变量的分布列为：

X10

ppq

其中,则称离散型随机变量服从参数的二点分布

、超几何分布：一般地，设总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取(W)件，

这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，

「k「n-k

则它取值为时的概率为尸(X=k)=M:M*=0,1,2,,m),

CN

其中m=Ymn[M,〃卜且”WWN,n,M,NeN*

二项分布及其应用

7、条件概率：对任意事件和事件，在已知事件发生的条件下事件发生的概率，叫做条件概率.

记作()，读作发生的条件下的概率

8、公式：

P(B|A)=^^),P(A)>0.

由这个定义可知，对任意两个事件、，若尸(互>>°,则有

P(AB)=P(B\A)P(A)

条件概率的性质：

()非负性：对任意的e.0«P⑻A)“l；

()规范性：(O)；

()可列可加性：如果是两个互斥事件，则

P(BC\A)=P(B\A)+P(C\A)

9、相互独立事件：事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相

互独立事件。P(AB)=P(A)P(B)

10、次独立重复事件：在相同条件下进行的，各次之间相互独立的，重复做的次试验。

(=，…，)表示第次试验结果，则(IAM…)=()()•“()

、二项分布：设在次独立重复试验中某个事件发生的次数，发生次数目是一个随机变量.如

果在一次试验中某事件发生的概率是，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中

尸(一)=。”尸(其中,……，)

于是可得随机变量&的概率分布如下:

€01♦・♦A♦・♦n

厂丫儿kn-k

C）产"q•■•

P・・•CnPq

这样的随机变量自服从二项分布，记作。〜(，),其中，为参数

、数学期望：一般地，若离散型随机变量&的概率分布为

gX1X2・・・Xi・・・

pP1P2•••Pi・,,

则称&=++•••++•••为&的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望.是离散

型随机变量。

离散型随机变量的均值与方差

E(ax+。)=aE(x)+b,D{ax+。)=a2D(X)

、二项分布的数学期望：()

M

14、超几何分布数学期望：()n•一.

N

15、方差(之)«)•«)・«)•£(%—£(X))2pj

i=l

叫随机变量&的均方差，简称方差。

、几种分布的期望与方差一览：

期望方差

两点分布€,

超几何分布

()()*()()

LE?c=7M1-------

胡M参数为N,M,n的超几何分布-N(不要求)

二项分布，1〜（）一，（）

正态分布

.正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

]_（•'-1〃）"

f{x}=―1_=-e2b2,%e（―oo,+oo）

V24cr

的图像，其中解析式中的实数〃、。（。>。）是参数，分别表示总体的平均数与标准差.

则其分布叫正态分布记作：（）的图象称为正态曲线。

・基本性质：

②曲线关于直线〃对称，且在〃时位于最高点

兀

③当时X<〃，曲线上升；当x>〃时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以

轴为渐近线，向它无限靠近.

④当〃一定时，曲线的形状由。确定.b越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；。

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

⑤当。相同时，正态分布曲线的位置由期望值U来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于.

.o■原则：

从上表看到，正态总体在(〃-2cr,〃+2cr)以外取值的概率只有，在(〃—3b,〃+3b)以

外取值的概率只有由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认

为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

随机变量及其分布复习题

—•、二项分布

.(南昌联考)某同学做了道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道

题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对道题的概率为，则下列数据中与的值最接

近的是()

.又一.义一

.X-.X-

.［角翠析］=•x+•=x+=x=x=x"x「)=x—=x-.

.(•湖北)计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水

年△源量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在以上，其中，不

足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年，将年入流量在以上三段的频

率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

()求未来年中，至多有年的年入流量超过的概率.

()水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，

并有如下关不：

_________年入流量_____________<<__________WW_________>

发电机最多

可运行台数_________

若某台发电机运行，则该台年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损万元，

欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

.解：()依题意，=(<<)==,

=(WW)==,

=(>)==.

由二项分布得，在未来年中至多有年的年入流量超过的概率为

=(一)+(—•)=+XX=.

()记水电站年总利润为(单位：万元).

①安装台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于，故一台发电机运行的概率为，对应的年利润=,()=x=.

②安装台发电机的情形.

依题意，当<<时，一台发电机运行，此时=—=,因止匕(=)=(<<)==;当2时，两台发

电机运行，此时=x=,因止匕(=)=(2)=+=.由此得的分布列如下:

所以，()=X+x=.

③安装台发电机的情形.

依题意，当<<时，一台发电机运行，此时=—=,因止匕(=)=(<<)==；当WW时，两台

发电机运行，此时=x—=,因止匕(=)=(WW)==；当〉时，三台发电机运行，此时=x=,

因此(=)=(>)==.由此得的分布列如下:

所以，()=x+x+X=.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机台.

.(辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图,

如图-所示.

频率.

组距

0.006--------------------------

0.005--------I---------

0.004-----------------------------------

0.003--------

0.002---------------------------------------------

O50—100—150200—250日销售./个

图-

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

()求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个的概率；

()用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望()及方差().

.解：()设表示事件“日销售量不低于个”，表示事件“日销售量低于个”，表示事件“在

未来连续天里有连续天日销售量不低于个且另天销售量低于个”.因此

0=(++)x=>

()=x=,

()=xxx=.

()可能取的值为，，，，相应的概率分别为

(=)=,(一)=，

(=)=,(-)=>

(=)=,(-)=>

(二)=•=

的分布列为

因为〜(，),所以期望()=x=,方差()=xx(一)=.

.(四川)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音

乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，

出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分(即获得一分).设每次击鼓出现音乐的概率为，

且各次击鼓出现音乐相互独立.

()设每盘游戏获得的分数为，求的分布列.

()玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

()玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而

减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

.解：()可能的取值为,，，

根据题意，有

(=)=xx=,

(=)=xx=,

(=)=><x=,

(=—)=xx=.

所以的分布列为:

()设''第盘游戏没有出现音乐”为事件(=,,),则

()=()=()=(=—)=.

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为一()=—=—=.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.

()由()知，的数学期望为=X+X+X—X=—.

这表明，获得分数的均值为负.

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.

二、离散型随机变量的分布列

.(福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾

客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所

获的奖励额.

()若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求：

()顾客所获的奖励额为元的概率；

()顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.

()商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成,

或标有面值元和元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位

顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

.解：()设顾客所获的奖励额为.

()依题意，得(=)=)=.

即顾客所获的奖励额为元的概率为，

()依题意，得的所有可能取值为，.

(=)=，

(=)=)=>

即的分布列为

所以顾客所获的奖励额的期望为()=X+X=(元).

()根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元.所以，先寻找期望为元的可能方案.对

于面值由元和元组成的情况，如果选择(,，，)的方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望

不可能为元；如果选择(,，，)的方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为元，

因此可能的方案是(,，，)，记为方案.

对于面值由元和元组成的情况，同理可排除(,，，)和(,，，)的方案，所以可能的方案是(,，，),

记为方案.

以下是对两个方案的分析：

对于方案，即方案(,，，)，设顾客所获的奖励额为，则的分布列为

的期望为()=x+x+x=,

的方差为()=(—)X+(—)X+(-)x=.

对于方案，即方案(,，，)，设顾客所获的奖励额为，则的分布列为

的期望为()=x+x+x=,

的方差为()=(—)X+(一)X+(-)x=.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差比方案的小，所以应该

选择方案.

.［•江西卷］件产品中有件正品、件次品，从中任取件，则恰好取到件次品的概率是.

［解析］由超几何分布的概率公式可得(恰好取到一件次品)=)=.

.(天津)某大学志愿者协会有名男同学，名女同学.在这名同学中，名同学来自数学学

院，其余名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这名同学中随机选取名同

学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

()求选出的名同学是来自互不相同学院的概率；

0设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

.解：()设“选出的名同学是来自互不相同的学院”为事件，贝IJ

()=,+,)=>

所以选出的名同学是来自互不相同学院的概率为.

()随机变量的所有可能值为，，，.

(=)=•)(=，，，)，

所以随机变量的分布列是

随机变量的数学期望()=x+x+x+x=.

.(.重庆卷)一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的

数字是，张卡片上的数字是.从盒中任取张卡片.

()求所取张卡片上的数字完全相同的概率；

()表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.

(注：若三个数,，满足则称为这三个数的中位数)

.解：()由古典概型中的概率计算公式知所求概率为=+)=.

()的所有可能值为，，，且

(=)=+)=,

(=)=++)=,

(=)=)=，

故的分布列为

从而()=X+X+X=.

三、互斥事件有一个发生的概率

.(•湖南)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排

甲组研发新产品，乙组研发新产品.设甲、乙两组的研发相互独立.

()求至少有一种新产品研发成功的概率.

()若新产品研发成功，预计企业可获利润万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润万

元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

.解：记=｛甲组研发新产品成功｝,=｛乙组研发新产品成功｝,由题设知

()=>(尸，()=>()=>

且事件与，与，与，与都相互独立.

()记=｛至少有一种新产品研发成功｝,则=,于是()=()()=X=,

故所求的概率为()=—()=—=.

()设企业可获利润为(万元)，则的可能取值为，，，.因为(=)=()=x=,(=)=()=x=,

(=)=()=X=,

(=)=()=X=,

故所求的分布列为

数学期望为

O=X+X+X+X===.

四相互对立与独立事件同时发生的概率

.(•安徽)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现

连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比

赛结果相互独立.

()求甲在局以内(含局)赢得比赛的概率；

()记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值(数学期望).

.解：用表示“甲在局以内(含局)赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获

胜"，则()=,()=,

()()=(四+(1AM)+(MM)=00+000+()()()()=+X+

义义=.

()的可能取值为，，，.

(=)=(⑷+()=()()+()()=，

(=)=(iAM)+0=

()()()+()()()=，

(=)=(MM)+(iA)=()()()()+()()()•()=，

(=)=一(=)一(=)一(=)=.

故的分布列为

=x+x+x+x=.

.(•北京)李明在场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):

场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数

主场客场

主场客场

主场客场

主场客场

主场客场

()从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率；

()从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超

过的概率；

()记为表中个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的

命中次数，比较与的大小.(只需写出结论)

.解：()根据投篮统计数据，在场比赛中，李明投篮命中率超过的有场，分别是主场，主

场，主场，客场，客场.

所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过的概率是.

()设事件为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在

随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一个主场

和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，一场不超过0.6”.

则=口，，相互独立.

根据投篮统计数据，()=,()=.

故()=()+()

=x+x

所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，一场不超过

的概率为.

()=.

.(•全国)设每个工作日甲、乙、丙、丁人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人是否

需使用设备相互独立.

()求同一工作日至少人需使用设备的概率；

()表示同一工作日需使用设备的人数，求的数学期望.

.解：记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，.

表示事件：甲需使用设备.

表示事件：丁需使用设备.

表示事件：同一工作日至少人需使用设备.

()因为()=，()=,()=X,=,,,

所以()=(.•+•+•尸

(,,)+(,)+(•■)=

()()()+()()+()()()=

()的可能取值为，，，，，其分布列为

(=)=(••)

=()()()

=(一)XX(一)

(=)=(•,+■•+■,)=

()()()+()()()+()()()=XX(-)+(-)XX+(一)XX><(—)=,

(=)=(••)=()()()=xx=,

(=)=()—(=)=，

(=)=-(=)-(=)-(=)-(=)=-------=，

所以=X(=)+X(=)+X(=)+X(=)+X(=)=+X+X+X=.

.(•山东)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图-所示，甲上有两个不相交的区域，，

乙被划分为两个不相交的区域，.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：

回球一次，落点在上记分，在上记分，其他情况记分.对落点在上的来球，队员小明回球的

落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在

上的概率为.假设共有两次来球且落在，上各一次，小明的两次回球互不影响.求:

()小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

()两次回球结束后，小明得分之和^的分布列与数学期望.

.解：()记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分"),

则0=，()=，()=—=；

记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分"),

则()=，()=，()=—=.

记为事件“小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上”.

由题意，=+++,

由事件的独立性和互斥性，

()=(+++)

=()+0+0+0

=()()+()()+()•()+()()

=x+x+x+x

所以小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上的概率为.

由题意，随机变量］可能的取值为,，，，，.

()由事件的独立性和互斥性，得

(0=)=()=义=，

(《=)=(+)=()+()=x+x=,

《=)=()=X=,

(»=(+)=()+()=X+X=,

e=)=(+)=()+()=x+x=,

《=)=()=x=.

可得随机变量f的分布列为：

所以数学期望E=x+x+x+x+x+x=.

.(•陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为元，此作物的市场价格和这块地

上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量()

概率

作物市场价格(元)

概率

()设表示在这块地上种植季此作物的利润，求的分布列；

()若在这块地上连续季种植此作物，求这季中至少有季的利润不少于元的概率.

.解：()设表示事件“作物产量为kg”，表示事件“作物市场价格为元”，

由题设知()=,()=,

V利润=产量X市场价格一成本,

所有可能的取值为

x—=,x-=,

x—=,又一=.

(=)=()()=