大学高等数学下考试题库

大学高等数学下考试题库（附答案）

《高等数学》试卷1（下）

一,选择题（3分X10）

1.点M（2,3,1）到点及2（2,7,4）的距离|MM|二（）,

A.3B.4C.5D.6

2.向量Q=-i+2j+k力=2i+j,则有().

r丁71r丁71

TTTTQ，力/Q।u\-

'D.''

A.QII力B.Q1力C.<

y=J2_*_y2+1—

3,函数“2+，-1的定义域是()，

A.{(xj)|l<x2+y242}22

B{(xl7|l<x+y<2)}

C.{(x,y)11cM+y2M2}D{(x,y)|lgx2+j2<2]

—>—>

4.两个向量Q与力垂直的充要条件是（）.

A.a•力~0B.aX力二。c.a一力D,A+力二0

5.函数Z=x3+y@-3xy的极小值是().

A.2B.-2C.1D.-1

6.设z=xsiny，则().

V2V2

大了B.Fc*DT

□□

7.若P级数。=1收敛，则（）.

A.P<1B.PW1C.P>1DPNl

□□

ST

8.基级数的收敛域为（）.

A.[-1.1]B（T，1）C」T，I）D.（TJ]

m

9.恭级数。二0在收敛域内的和函数是（）.

1221

A.l-XB.2-Xc.l-XD.2-X

io.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.

x

A，*'Byac.y=^eD.y=e«

二,填空题（4分X5）

1.一平面过点，（°，°，3）且垂直于直线，B,其中点火2,—1,1）,则此平

面方程为.

2.函数每=应口（。）的全微分是.

a乩z

3.设了+则以叫一.

1

4.2+X的麦克劳林级数是.

5.微分方程y"+4y'+4y=0的通解为.

三,计算题（5分、6）

dzdz

1.设z二c"sinu,而口二xy,v=x+y,求战'药.

2.己知隐函数％=z(x,y)由方程x2_2y2+z2_4x+2z_5=0确定，求

dzdz

Sx'Sy'

0'sin^x2Vy2do

3.计算o,其中D；712Mx2+y2447r2.

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.

四.应用题（10分乂2）

1.要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸

时，才能使用料最省？

2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,

且曲线过点（I诗3）/,求此曲线方程

试卷1参考答窠

一.选择题CBCADACCBD

二,填空题

12x-y-2z+6=0

2gs(xy)(ydx+xdy)

3.6*夕一9y2-1.

4.«=0

5y=(C1+C2X)fi-2x

三，计算题

]—=ex-x[ysin(x+y)+cos(x+y)]

「•，、,、r

—=e^[xsin(x+y)4-cos(x+y)]

dz2-xdz2y

2.3xz+1'3yz-Fl

,21r,2ir

Id(|)Isinp・pdp=

2

3."。、-6TI

到3

4.3

5y=e3x—e2*

四.应用题

1.长、宽、高均为3《，加时，用料最省.

12

y=7x-

2.3

《高数》试卷2（下）

一.选择题（3分*10）

1.点%（4,3,1）,孙（7,1,2）的距离|%/|=（）.

Ayi2Byi3cyi4Dyi5

2.设两平面方程分别为x-2y+2z+l=0和-x+y+5=0,则两平面的夹角

为（）.

巴巴巴巴

A.6B.4C.3D,2

3,函数z=arcsin（x^y2）的定义域为（）,

4{3川|03盯241}B,{（3）2472V1}

TT[r7T5

（xj）o^x2+/2^y（%y）0<Jf2+/2<y

4.点P（-l，-2，l）到平面x+2y-2z-5=°的距离为（）.

A.3B.4C.5D,6

5.函数z=2灯-3*2—2/2的极大值为（）.

1

A.0B.1C.-1D.2

吗Q2）二

6.设％=x243xy4y2,则dx（）,

A.6B.7C.8D.9

m

7.若几何级数，=Q是收敛的，则（）.

A.r<lB.r"C」H<1D」“<1

8,凝级数”=0的收敛域为（）,

A.[-U]C（TJ]D,（-1J）

0

Y*1sinna

9.级数n=1是（）.

A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D,不能确定

io.微分方程的通解为（）.

A.y=fiCXB.y=cfiXc.y=fiXD）=皿*

二,填空题（4分X5）

x=3+t

y=t

1.直线1过点4（2,2,—1）且与直线一’平行，则直线1的方程为

2.函数％二e个的全微分为.

3.曲面2二2二一灯2在点（2,1,4）处的切平面方程为

4.14X?的麦克劳林级数是.

5.微分方程xdy-3ydx=0在X尸4=1条件下的特解为

三,计算题（5分、6）

―►―►―►―►—►―►—►―►—►

1设a=i+2j-k，力=2j4-3k，求。X8.

dzdz

2.设N=n2v-&y2而u=xcosy,v=Ksiny,求？x'”'

dzdz

3.已知隐函数z=z（x,y）由确定，求怖'可

4.如图，求球面x2+y2+%2=4Q2与圆柱面x2+y2=2ax（a>0）所围的几

何体的体积.

5,求微分方程y"+3y'+2y=0的通解.

四.应用题（10分x2）

1.试用二重积分计算由y=«/=2口和x=4所围图形的面积.

2.如图，以初速度V。将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x=x（t），

d，dx_

（提示：衣一P,当£=0时，有x=x。，dt=vo）

777777777

试卷2参考答案

一.选择题CBABACCDBA.

二.填空题

x-2y-2z+1

2,阳(ydx+xdy)

3.8x-8y-z=4

□□

ELIX

4.n=0

5.，=/.

三.计算题

i.8i-3j+2A

2.

1|j=3x2sinjcos/(cos/-siny),-|^=-2x38injcosj(giny+cogy)4-x3(sin^y+cosJ)

dz-yzdz-xz

3axxy+z2*dyxy+z2

2xx

5y=C1e-+C2e-

四.应用题

16

i.T.

1

K---gt2+vt+^o

2.Lo

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1、二阶行列式2-3的值为（）

45

A、10B、20Cs24D、22

2^设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a与b的向量积为（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、点P(、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为()

A、2B、3C、4D、5

4、函数z=xsiny在点（1,4）处的两个偏导数分别为（）

dzdz

5、设x2+y2+z2=2Rx,则社'即分别为()

x-Ryx-Ryx-Ryx-Ry

9

A、Z’ZB、ZZC>Z'ZD、=”

6、设圆心在原点，半径为R,面密度为H=x2+y2的薄板的质量为（）（面

积A二我R，）

yff2/!

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、2

呢-呜

7、级数^=1的收敛半径为（）

1

A、2B、2c、1D、3

8、cosx的麦克劳林级数为（）

03030

工(—1厂上E(T)“上E（-i）”上

A、尸。(2〃)！B、k1(2〃)！c。=0（2〃）！口、

m

y(-l)Wx2n-l

n=o(2n—1)!

9、微分方程（y'、）4+（y'）5+y'+2=0的阶数是（）

A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为()

A、-2,-IB、2,IC、-2,ID、1,-2

二、填空题（本题共5小题，每题4分,共20分）

早=上早=2的夹角为

1直线L1：x二y二z与直线L2：L—1

直线L3；号呼亭平面3X+2,3。之间的夹角为

2、（0.98）2.03的近似值为«sinl00的近似值为。

jyda,D:x2+y2^l的值为

3、二重积分o0

0303

»!灯的收敛半径为£营的收敛半径为

4、累级数k0,n=0

5、微分方程y'=xy的一般解为,微分方程xy'+y=y2的解为

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z二t3在点（1,1,1）处的切线及法平面方程.

jjxyd%其中D由直韧=1,乂=2如二上围成

3、计算o

□0

E（-l）、in；收敛吗？若收敛则是条件收敛还是绝对收敛?

4、问级数

5、将函数f(x)二e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、应用题(本题共2小题，每题10分，共20分)

1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不

断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原

子的含量M成正比，(已知比例系数为k)已知匕0时，铀的含量为M0,求在

衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D2、C3sC4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空题

2、0.96,0.17365

Ji4、0,+3

三、计算题

1、-32-8

解：△二2-53=(-3)x-53-2x23+(-8)2-5=438

17-57-51-5

172-8

△x=3-53=17x-53-2x33+(-8)x3-5=-138

27-57-52-527

同理：

-317-8

△y=233=276,Az=414

12-5

AxAy„Az

所以，方程组的解为

2、解；因为x=t,y=t2,z=t3,

所以xt=l,yt=2t,zt=3t2,

所以x11t=l=1,y11t=l=2,zt|t=l=3

故切线方程为：1—2一3

・

法平面方程为：(xl)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=l,x=2,y=x围成,

所以

D：1<y<2

y<x<2

231

xydx]dy=f(2y-y')dy=l才

8

松HE

4、解：这是交错级数，因为

外=3113)°，所以/〃41代〃，旦‘加4/4=°，所以该皴数为莱布尼兹型极数，故收敛。

00sin—mm

又fsin；当工趋于0时用nx~x,所以,lim—^二=1,又级数发散《从而工§而：发散。

e-9ee

所以，原级数条件收敛。5、

111

e*=l+x+—x2+—x3+«-+—xn+<-

2!3!n!

解：因为X£(_R,+8)

用2x代X,得：

1o1o1

^=14-(2x)+-(2x)2+-(2x)^^+-(2x)n+^

222324

=l+2x+—x2+—x34---+—xn+--

2!3!n!

XE(-8,+8)

6、解：特征方程为r2+4r+4=0

所以，(r+2)2=0

得重根r1=r2=-2,其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x

所以，方程的一般解为y=(cl+c2x)e・2x

四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x,y,z

则2(xy+yz+zx)=a2

构造辅助函数

2

F(xy/z)=Xyz+(^xy4-2yz+2zx—a)

求其对x,y,z的偏导，并使之为0,得：

{”+24(y+z)=0

xz+2人(x+z)=0

xy+22(x+y)=O

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

&a

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=6

底03

二H

所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为

2、解：据题意

at

其中外0为常数

初始条件

对于需=TM式

两端积分得比M=-At4-lnC

而以,M=ce”£

又因为

所以,%=C

所以,M=MQGT£

由此可知，铀的衰变规律为।铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。

《高数》试卷4（下）

选择题：3X10=301

1.下列平面中过点(1,1J)的平面是.

(A)x+y+z=0(B)x+y+z=1(C)x=1(D)

x=3

2.在空间直角坐标系中，方程、2+y2=2表示

（A）圆（B）圆域（C）球面（D）圆柱面

22

3.二元函数z=(l-x)+(l-y)的驻点是

(A)(0,0)(B)(0,1)(O(1,0)(D)(1,1)

dxdy=

4,二重积分的积分区域D是I<x24y2«4,则D

(A)n(B)471(C)37r(D)157r

5.交换积分次序后l1rx

dx]f(xty)dy=

i

f(xty)dxf(x,y)dx

(A)(B(C)

r(xj)dxf(3)dx

6.n阶行列式中所有元素都是1,其值是

(A)n(B)0(On!(D)1

7.对于n元线性方程组，当『(4)=『(')=r时，它有无穷多组解，则

(A)r=n(B)r<n(C)r>n(D)无法确定

8,下列级数收敛的是

m4

(B)(C)尸1(D)

9.正项级数"=1和"=1满足关系式则

%

(A)若«=1收敛,则加=1收敛（B）若。=1收敛,则0=1收敛

□□

(C)若11发散,则I发散（D）若。=1收敛,则“1发散

1,1

—=l+x+x29+*»

10.己知：I则的基级数展开式

为

(A)1+谒+*4+…(g)—14-X2—x44-**e(c)-1—x2—x4—•••

(D)l-x24-x4-

二填空题；4'X5=2（r

1.数户"2+,_1+皿2-/一,）的定义域为

rd11=

2,若r（x,，）w,则八x'>

3.已知（X。/。）是fUM的驻点，若

广八出,九）=3,/"区,九）=12/皿几,九）=。则

当时，（x°JJ—定是极小点.

4.矩阵A为三阶方阵，则行列式|34|=\A\

B

5.级数"=1收敛的必要条件是

三.计算题㈠：6*5=3优

dzdz

1.已知；片二犬/,求:哉,而,

2.计算二重积分D,其中

D={(x,y)4T2,0＜弁＜2}

1

01

1

001

0

3.已知：XB=A,其中A=B=

求未知矩阵X.

E（T）n-1^2

n

4.求幕级数n=l的收敛区间.

5.求ra）二6一”的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.

四.计算题（二）：15x2=20'

1.求平面x—2y+z=2和2x+y-z=4的交线的标准方程.

Ax+/+z=l

•x+Ay+z=l

x+y+Az=l.

2.设方程组，试问；入分别为何值时，方程组无解、有唯一

解、有无穷多组解.

参考答案

一,1,C；2.D：3,D；4,D；5,A；6.B；7,B；8.C；

9.B：10.D.

y_

二.1.{（2）|1攵2+,<2}2.X3,-6<fl<64,27

lim«ff=0

5."tb

dz.dz

--yy-i—=x>lny

四，i.解：以X

2.解：

2*3216

2=

：一~—

g臼do=Jdx『gdy=J(4-x)dx=4x=T

0

17

10

B-=01

-415

001

3.解:

n-1

4.解：R=l.当|x|(1时，级数收敛，当X=1时，得。=1收敛,

cn4彳b

当x=T时，得〃二1n=l发散，所以收敛区间为

XW(-8,+8),所以

□□□□

e

ZJn\An!

n=0n=0X6(-8,+8)

—►

四.1.解；，求直线的方向向量;

曰//

求点：令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程为135

2.解:

⑴当入=-2时,M，）=2,⑷=3,无解；

_________J_

（2）当入/1,人大一2时，r（4）=（7）=3有唯一解：'一丁一"2+吊

x=l-c1-c2

1y=6

（3）当入=1时，r（力）=（4）=1,有无穷多组解：I（仃"2为

任意常数）

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

1、已知“=i+j,b=_k,则QX力二（）

—►T—►—►TT

AOB"jCi+jD-i+j

2、空间直角坐标系中x2+y2=l表示（）

A圆B圆面C圆柱面D球面

sinxy

z=------

3、二元函数X在（0,0）点处的极限是（）

A1B0C00D不存在

1]

JdxJf（x,y）dy

4、交换积分次序后0'=（）

1]1

JdyJf(xty)dxJdyJf(xty)dx

A00Bx°

1]1

JdyJf(xty)dxJdyJ/(xj)dx

C0yDO°

JJ*dxdy=

5、二重积分的积分区域。是,|4|y|41,则D()

A2B1C0D4

6、n阶行列式中所有元素都是1,其值为()

AOBICnDn!

7、若有矩阵A3X2,52X3,C3X3,下列可运算的式子是()

AACBCBcABCQAB—AC

8、n元线性方程组，当r(4)=r(4)=r时有无穷多组解，则()

Ar=nBr<nCr>nD无法确定

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式()

A必等于零B必不等于零

C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零

GDGD

10、正项级数。=1和冗三1满足关系式“元$丫冗，则()

□□□□□□□□

A若"=1收敛，则"=1收敛B若"=1收敛，则加二1收敛

E%工外%

C若发散