计数原理全章教案1 人教课标版

《计数原理》全章教案

一、教学目标

.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；

.了解分类、分步的特征，合理分类、分布；

.体会计数原理的基本原则：不重复，不遗漏.

二、教学重点：

.分类计数原理与分步计数原理的区别与联系；

.如何选用分类计数原理与分步计数原理.

三、教学难点

.准确理解分类计数原理与分步计数原理；

.初步运用分类计数原理与分步计数原理解决简单的实际问题.

四、教学过程

.问题情境一：五一期间，某家庭自助旅游，欲从姜堰去千岛湖（浙江淳安县），一天中有

火车班，有汽车班，那么一天中乘坐这些交通工具从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？

思考：假使一天前迩有航班次，轮船

次，那么从姜堰到千岛湖有多

少种不同的方法？

.由情境一，你能归纳猜想出一般结论吗？

分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有类方式，在第类方式中有种不同的方法，在第类

方式中有中不同的方法，…，在第类方式中有中不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.

要点分析：

（）分类；

（）相互独立；

（）…（各类方法之和）.

问题情境二：后来听说衢州（浙江省西部）是中国著名影视明星周迅的故乡，有被誉为'‘世

界第九大奇迹”的龙游石窟，于是改变行程，先乘火车从姜堰到衢州，再乘汽车从衢州

到千岛湖，一天中火车有班，汽车有班，那么从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？（不

考虑时间因素）

.由情境二，你能归纳猜想出一般结论吗？火车1

汽车1

分步计数原理(乘法原理)：完成一姜火车2

堰

件事，需要分成个步骤，做第步有衢州汽车2

种不同的方法，做第步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事

共有

XX…X

种不同的方法.

要点分析:

()分步;

()每步缺一不可，依次完成;

()XX…X(各步方法之积).

.数学运用

(课本页例)()在图I的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法?

()在图II的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法?

||||

III

总结，提升:

分类计数原理分步计数原理

联系都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题

完成一件事，共有〃类完成一件事，共分〃个

区别1办法，关键词“分类”步骤，关键词“分步”

每类办法相互独立，各步骤中的方法相互依

区别2每类方法都能独立地顿，只有各个步骤都完

完成这件事情成才算完成这件事情

变式训练：如下图，从到共有多少条不同的线路可通电？(每条线路仅含一条通道)

■(补充)现有高一年级的学生名，高二年级的学生名，高三年级的学生名.

()从中任选一人参加夏令营，有种不同的选法？

()从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？

变式训练：从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法?

■(课本页例)为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码.在某

网站设置的信箱中，

()密码为位，每位均为到这个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？

()密码为位，每位是到这个数字中的一个，或是从到这个英文字母中的一个.这

样的密码共有多少个？

()密码为〜位，每位均为到这个数字中的一个.这样的密码共有多少个？

变式训练：若在登陆某网站时弹出一个位的验证码：(如)，第一位和第三位为到中的数

字，第二位和第四位为到这个英文字母中的一个，则这样的验证码最多有个？

.随堂练习

()书架的上层放有本不同的英语书，中层放有本不同的语文书，下层放有本不同的数学

书，从中任取本书的不同取法的种数是.

()在上题中，如果从中任取本，英语、语文、数学各本，则不同的取法的种数是.

()(课本页例)用种不同颜色给下图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共

有多少种不同的涂法？

①③

②④

.课堂小结

弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提与条件.

这两个原理都是指完成一件事，区别在于：

（）分类计数原理（加法原理）是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件

事；

（）分步计数原理（乘法原理）是“分步”，每种方法都只能做这件事的一步，不能独立

完成这件事，只有各个步骤都完成才算完成这件事！

.布置作业

.两个基本计数原理（二）

一、教学目标

.能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；

.能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；

.会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.

二、教学重点

综合运用两个基本原理解决一些简单的实际问题.

三、教学难点

准确选用两种基本原理.

四、教学过程

.复习回顾

⑴分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有类方式，在第类方式中有种不同的方法，在第

类方式中有中不同的方法，…，在第类方式中有中不同的方法，那么完成这件事共有…

种不同的方法.

要点分析：（）分类；（）相互独立；（）…（各类方法之和）.

⑵分步技术原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第

步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有XX…X种不同的方

法.

要点分析：（）分步；（）每步缺一不可，依次完成；（）XX-X（各步方法之积）.

⑶两种基本计数原理的区别与联系：（见下表）

分类计数原理分步计数原理

联系都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题

完成一件事，共有〃类完成一件事，共分”个

区别1办法，关键词“分类”步骤，关键词“分步”

每类办法相互独立，各步骤中的方法相互依

区别2每类方法都能独立地赖，只有各个步骤都完

完成这件事情成才算完成这件事情

数学运用

0列举法计数

例某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘,

根据需要，软件至少买盒，磁盘至少买盒，则不同的选购方式有种.

注明：本题可以列树状图.

0合理分类，运用分类加法计数原理计数

例等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于，这样的不同形状的三角形的种数

为种.

注明：注意到边长为正整数，周长不大于，且任意两边之和大于第三边.按腰长分类，

再分类计数，防止重复或遗漏.

()巧妙分步，运用分步乘法计数原理计数

例将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种

植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？(三种作物必须都种植)

注明：因有种作物种植，需去掉只种两种作物的情况，这种情况易被忽略.

答案：种

0综合运用两个计数原理

例现有高一年级某班三个组学生人，其中第一、二、三组各人、人、人，他们自愿组

成数学兴趣小组.

()选其中人为负责人，有多少种不同的选法？

()每组选名组长，有多少种不同的选法？

()推选人作代表发言，这人需来自不同的组，有多少中不同的选法？

注明：计数关键在于不重复不遗漏，我们常用分类或分步的方法将较复杂的问题分解成

若干较简单的问题.

答案：0种：()种；0种.

例在至之间有多少个无重复数字的奇数？

注明：解决本题，容易得到以下错解：“分三步完成，先排首位有种方法，再排个位有种

方法，最后排中间两位有X种方法，所以共有XXX(个).”产生以上错解的

原因是：由题意，、、这三个数既可以排在首位，也可以排在个位，因而首位与个

位有可能重复.实际上，当首位为、、时，末位只有种方法.因此，首位是用、、，

还是用、，影响到第二步，即填个位的方法数，遇到此类情形，则要分类处理.

答案：(个).

.随堂训练

()课本页练习〜；

()课本页习题

.课堂总结

解决计数问题必须审清：做什么“事”？怎样才算“完成”？采用何种“方式”完

成？若采用“分类”的方式完成，则需遵循同一个分类标准，以防重漏现象的发生；若

采用“分步”的方式，则需按这件事发展的连续过程分层次进行，若某一步中的每一种

方法对其下一步中的方法数产生了不同的影响，则需采取先分类后分步的方式来协调.

.布置作业

.排列(一)

一、教学目标

.正确理解排列的概念，了解树形图及字典排序法；

.理解排列数及简单的排列数的计算；

二、教学重点

排列的概念及写排列问题.

三、教学难点

.利用树形图或字典排序法写一些简单排列问题的所有排列；

.排列与排列数的区别与联系.

四、教学过程

.问题情境

前面我们认识了计数的两个基本原理，下面来研究关于计数的一类常见问题：

问题一：从人的数学兴趣小组中选人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？()

问题二：用，，，，这个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？()

问题三：从,，，，这个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？()

这三个问题有什么共同特点？能否对上面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？

共同特点：问题三中把字母，，，，分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二.把

上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个

不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

.问题探究(学生活动)

排列问题：从个不同的元素，，，，中任取个，然后按顺序排成一列，

共有多少种不同的排列方法？

方法一：运用分步计数原理：可知共有义种不同排列.

方法二：因为所有不同的排列(可以一一列举出来)是.....

,,,.......所以共有种.

说明：如果排列问题搞清楚了，那么以后这类问题的解决就可以直接说出结果，这

无疑是今后计数问题的一种非常简便的方法.(一劳永逸的方法哦！)

再比如课本的两个问题，阅读课本第页到第页.

学生自我分析问题：从,，，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，

cdbdbecdadacbdadabbcacab

字典排序法树形图

.数学理论(排列概念及排列数概念)

一般地，从个不同的元素中取出(W)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

个不同元素中取出个元素的一个排列().

概念说明：()元素不能重复；()“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问

题是否是排列问题的关键；()两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，

而且元素的排列顺序也完全相同；()〈时的排列叫做选排列，W时的排列叫做全排列；

()为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“数形图”或“字典排序

法

为了研究问题的方便，我们给出下面概念及符号：

一般地，我们把从个不同元素中取出(W)个元素的所有排列的个数，叫做从个不

同元素中取出个元素的排列数，用符号A：；表示.

思考：()“排列”与“排列数”有何区别与联系？()运用分步乘法计数原理或枚

举法(字典排序或数形图)，我们可以求出排列数.试求及A：.

.数学运用

例分析下列问题，那些是求排列数问题？

()有本不同的书，从中选本送给名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

()有种不同的书，要买本送给名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

()用，，，，这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

()用，，，，这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

()从，，，四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？

()从，，，四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？

答案：()是；()不是：()不是；()是；()不是：()不是.

拓展：求出上面问题的答案.

答案:0；0；()；()；。；().

.课堂总结

()排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排列”，

这里的“一定顺序”就是指与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重

要标志.

()当元素较少时，可以根据排列的意义列出所有的排列(枚举法中的字典排序法与树形

图).

()思考：那么怎样更快的写出排列数呢？

.布置作业

.排列(二)

一、教学目标

.掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想；

.初步掌握应用排列数公式进行一些简单的排列数的计算、证明与化简.

二、教学重点

排列数公式的推导与应用.

三、教学难点

排列数公式的推导与应用.

四、教学过程

.复习回顾与问题引入

在上一节课，我们认识了排列、排列数的概念，…

下面，请同学们计算如下排列数：AtAj,A；,A；,A；,…，

并由此归纳猜想：一般地A；?

.学生活动

A；,A；,A：,A；,.

另外，排列可以看作是分步完成的，以为例.

第1位第2位

故A；X

一般地，有

第1位第2位

nw-1

故A；=〃x(〃-1)

更一般地，有

第1位第2位第3位,第加位

—t~~t~L-4—I—

nn-in~2n~m+i

故A：=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x(〃一〃?+1).

.数学理论

O根据分步计数原理，我们得到排列数公式

A：=nx(n-1)x(n-2)x■■■x(n-m+1)

其中，e*,且W.

()个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.在排列数公式中，

当时，即有

A"=〃x("一1)x(〃-2)x…x3x2*1

A：称为的阶乘()，通常用!表示，即

A：=nl

()概念剖析

①排列数公式的特点：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个因数少，最后一个因数

是-，共有个因数；

②当时，即个不同元素全部取出的一个排列.全排列数为：

A"=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x3x2x1=”!(叫做的阶乘)；

③公式的变形：

=〃*(〃-1)x(〃-2)x…x(〃一根+1)

_nx(n-l)x---x2xl_”！

(/?-/n)x(H-/n-1)x•••x2x1(/?-m)!

规定：！，其中W.

.数学运用

例计算：（）A：0；（）一•答案：（）；（）•

人2

例若A：=17xl6xl5x-.x5x4,则，.答案:，.

例若右*,且＜＜，则（55—〃）（56—〃）…（68—”）（69-〃）用排列数符号表示为？答

案：.

例人站在一排照相，共有多少种不同的站法？答案：A；=5040.

例某年全国足球甲级联赛共有队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，

共进行多少场比赛？答案：.

例四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有多少种？答案：种.

例从参加乒乓球团体比赛的名运动员中选出名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序,

有多少种不同的方法？答案：种.

例从种蔬菜品种中选出种，分别种植在不同土质的块土地上进行试验，有多少种不同

的种植方法？答案：种.

例解方程：3A：=28+1+6A＞答案：x=5.

例解不等式：岗〉6岗一2.答案：{,,,,}.

例求证：（）A；=A；1A鬻；=…（2〃一1）.

2"•n!

例化简：（）-+~+-+---+^；（）Ixl!+2x2!+3x3!+---+nxn!.

2!3!4!〃！

答案：（）1一工；0（n+l）!-l.

〃！

.课堂小结

（）解含排列数的方程或不等式时要注意排列数4：中，，e*,且w这些限制条件，要注

意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

（）公式=〃乂（〃-1）乂（“一2）乂一乂（〃一〃2+1）常用来求值，特别是，均为已知时，

公式A：=-J,常用来证明和化简.

（n-m）!

.布置作业

排列（三）

一、教学目标

,熟练掌握排列数公式;

.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题，使学生逐步学会分析问题的方法，提高解决

问题的能力.

二、教学重点

常见的排列数公式应用问题的解题策略.

三、教学难点

排列数公式应用的切入点分析.

四、教学过程

.复习回顾与问题引入

前面我们认识了分类加法原理与分步乘法原理以及从个不同元素取出（W）个不同

元素的排列数，运用这些知识方法可以较好的解决一些计数问题.

这节课，主要通过一些计数问题的思考来体会其中的方法及训练思维.

.数学运用

思考一：（课本页例）用到这个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？

解法：直接法（优先考虑特殊位置）

由于百位上的数字不能是，因此，为了得到这个三位数，

第一步：先排百位上的数字，它可从到这个数字中任选个，有4种选法.

第二步：再排十位和个位上的数字，是从余下的个数字中任选个的一个排列，

有A；种选法.

根据分步计数原理，所求的三位数的个数是

4•/XX.

解法：直接法（优先考虑特殊元素）

由于是一个特殊元素，因此可先排这个特殊元素.符合条件的三位数可以

分为类：

第一类：每一位数字都不是的三位数有个；

第二类：十位数字是的三位数有蜀个：

第三类：个位数字是的三位数有A；个.

根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是A；.

解法：间接法（先求排列总数，然后去掉不符合条件的，间接求得答案）

从到这个数字中任取个数字的排列数为Af0,其中在首位的排列数为,

这些排列不能构成三位数，因此，所求的三位数的个数是:

—A；.

答可以组成个没有重复数字的三位数.

同步练习一：

（）位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

答案：种.

（）位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

答案:种.

说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，“直接法”中

对某些特殊元素可以优先考虑.

思考二：位同学站成一排.（）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？。甲、乙不

能相邻的排法共有多少种？（）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头

和排尾的排法有多少种？

解：（）相邻问题可以采用“捆绑法”，但要注意捆绑在一起的元素也要排序！

答案:种；

（）不相邻问题可以采用“排除法”或“插空隙法”，前者是一种间接法，后者是一

种直接法；

答案：种；

O可以按“位置的特殊性”或“元素的特殊性”进行特殊考虑.

答案：种.

同步练习二：

（）张同排连号的电影票，分给名教师与名学生，若要求师生相间而坐，则不同

的分法有多少种？（答案：2A；用）

（）某商场中有个展架排成一排，展示台不同的电视机，其中甲厂台，乙厂台，丙厂台，

若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？

（答案：）

思考三：（）七个人站成一排，其中甲在乙前（不一定相邻），乙在丙前，则共有多少种

不同的站法？。个人坐在圆桌上吃饭，共有多少种不同的坐法？（圆排列问

题）

解：（）这类部分元素有先后顺序的问题可以用如下的两种方法处理：

①整体除法原理.答案用+A；种；②逐步插空法.答案种.

（）这是圆排列问题，我们可以以某个元素为参照物把它转化为排列问题，即规定在

这个元素左边相邻的一个元素为排头，在该元素右边相邻的一个元素为排尾，

也就是让该元素定下位置（无论在哪个位置都一样），再让其余个元素站成排成

一排，排头的在该元素左边，其余元素依次确定.这样，把个元素放在圆周上

无编号的个位置上的问题，我们称之为个元素的圆排列问题，其圆排列种数为

A"”

4一1,

.课堂小结

基本的解题方法：()有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常通常是先排特殊元素

或特殊位置，称为优先法；()某些元素要求必须相邻时.，可以先将这些元素看作一个元

素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；()某

些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称

为“插空隙”法.

排列问题解法相当灵活，一般可采用直接和间接两种思维形式，用多种方法思考不

仅可以提升思维能力，还可以检验答案.

.布置作业

.组合(一)

一、教学目标

.正确理解组合与组合数的概念；

.弄清组合与排列之间的关系；

.会做组合数的简单运算.

二、教学重点

.组合与排列的区别与联系；

.组合数公式的推导.

三、教学难点

组合数公式的推导.

四、教学过程

.设置情境

前面我们研究的排列问题，许多计数问题可归结为排列问题来处理.

思考下面两个问题：

问题一：有本不同的书，

()取出本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，有几种不同的分法？()

()取出本给甲，有几种不同的取法？()

问题二：从甲、乙、丙名同学中选出名，

()分别去参加某天的上、下午活动，有多少种不同的选法？

()去参加一项活动，有多少种不同的选法？

分析：两个问题的第()问都涉及顺序，而第()问都没有顺序.前者是排列问题，后

者就是今天要研究的组合问题.

.数学理论

组合：一般地，从个不同元素中取出(W)个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素

的一个组合.

思考：排列和组合有什么区别与联系？

区别：对于从个不同元素中所取出个元素，排列还要“把所取元素按照一定的顺序

排成一列”，而组合却是“把所取元素并成一组无顺序要求”.

联系：排列可以看成由两步来完成的事情：第一步：从个不同元素中取出个元素的

一个组合；第二步：把所取的个元素排成一列（个元素的全排列）.

.学生活动一一概念对比研究，加深印象

排列：一般地，从个不同的元素中取出（W）个元素（注意：所取元素必须不相同）,

按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（）.

组合：-一般地，从个不同元素中取出（W）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取

出个元素的一个组合.

共同点：都是与“从个不同元素中任取个元素”有关的.

不同点：对于从个不同元素中所取出个元素，排列还要“把所取元素按照一定的顺

序排成一列”，而组合却是“把所取元素并成一组无顺序要求”.

联系：排列可以看成由两步来完成的事情：第一步：从个不同元素中取出个元素的

一个组合；第二步：把所取的个元素排成一列（个元素的全排列）.

.数学理论

组合数：从个不同元素中取出（W）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元

素的组合数.记作：C；.

注意：c：是一个数，应该与组合区分清楚.

.数学理论：如何求组合数C："?

简单的，可以用列举法，如：

范例：（）写出从，，三个元素中取出两个元素的所有组合.（C；=3）

（）写出从，，，四个元素中取出两个元素的所有组合.（C：=6）

（）写出从，，，四个元素中取出三个元素的所有组合.（C：=4）

一般地，如何求呢？（尝试用组合与排列的联系来思考）

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下步：

第步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数C：.

第步，求每一个组合中个元素的全排列数A；：；.

根据分步计数原理得到：A：=C：♦.

.,n_A：_n（n-l）（n-2）---（n-m+l）

..cr”——•

勺；ml

这里，e*,W,这个公式就叫做组合数公式.

又因为4；二——，所以，上面的组合数公式还可以写成=----------,

（n-m）!/n!（n-m）!

IJ!

特别地，当时，=——=1,即=1,同理：C：=1.

.数学运用

例求（）G；（）（答案：（）；（）・）

117

例已知1—一-=-求（答案：）

c：eg10C；

例求证（答案：略）

n-m

例解不等式〉3C『.（答案：或）

例下列问题是排列问题还是组合问题，请用排列数或组合数表示其结果.

（）某铁路线上有个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？

排列问题，A；；

（）某铁路线上有个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的票价（相连两站来去

票价一样）？

组合问题，C；.

（）集合则集合含有个元素的子集有多少个？

组合问题，C：.

（）从,，，中任取两个数相加，可得多少个不同的和？

组合问题：C]

（）从,，，中任取两个数相除，可得多少个不同的商？

既不是排列数问题也不是组合数问题，可用分步计数原理解决（需删除部分

相同的商值）.

.课堂小结

组合只取元素，排列既取元素又排顺序：排列问题可看成先取元素，后排顺序.

组合数公式的推导过程.

.布置作业

组合（二）

一、教学目标

.理解排列数与组合数的异同；

.熟练进行组合数的运算、化简；

.能利用组合数的两个性质简化计算.

二、教学重点

.组合数公式与排列数公式的区别与联系；

.组合数公式的两个性质.

三、教学难点

组合数公式的两个性质的应用.

四、教学过程

.复习与引入

上节课，我们认识了组合的意义，并注意到排列与组合的联系：对于从个不同元素

中取出个不同元素的排列可分两步来做：第一步：从个不同元素中取出个元素的一个组

合；第二步：把所取的个元素按一定顺序排成一列（个元素的全排列）.

正是运用该联系，根据分步计数原理我们得到组合数的计算公式：

r,nA：n（n-l）（n-2）---（n-m+l）

.学生活动

练习：（）计算G3G3（）比较c肾与c；oo的大小.

答案：o%,c；；o大小相等.

思考一：为何上面两个不同的组合数其结果相同？这一结果的组合的意义是什么？

.数学理论

一般地，从个不同元素中取出个不同元素后，剩下一个元素，因为从个不同元素中

取出个不同元素的每一个组合，与剩下的-个元素的每一个组合一一对应，所以从个不

同元素中取出个不同元素的组合数，等于从这个元素中取出

-个元素的组合数.即

mcn-m

Cn=C“

这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.

性质的证明：C；；=---=------------------=C；"'.

/”!（〃―/”）！（“一，”）![〃_（〃_/"）]!

.学生活动

练习：（）计算：或.（答案：）

（）已知：c；；=C祟,求.（答案：或）

o已知：c：=c：,求Go.（答案：）

.学生活动

思考：一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球.

（）从口袋内取出个球，共有多少种取法？（C：）

（）从口袋内取出个球，使其中含有个黑球，有多少种取法？（C；C；=C；）

（）从口袋内取出个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（C»

.数学理论

组合数的第二个性质：c：;=C；：+.（证明略）

.学生活动

练习：（）计算+C篇；（原式=C器=G%=166650）

（）若C"一C；=C；,则；（）

（）+Cg+…+=；（）

（）计算c：+c；+c；+…+c]=.o

.数学运用

例在件产品中，有件合格品，件不合格品.从这件产品中任意抽出件.

（）一共有多少种不同的抽法？

（）抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有多少种？

（）抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有多少种？

（）抽出的件中至多有件是不合格品的抽法有多少种？

.课堂小结

（）组合数的两个性质；

。解组合应用题的一般思路.

.组合（三）

一、教学目标

.进一步理解组合的意义，区分排列与组合；

.熟练进行组合数的运算与排列数的运算；

.熟练运用排列与组合，解决一些简单的应用题.

二、教学重点

对计数问题进行清晰分类，合理分步.

三、教学难点

对计数问题进行清晰分类，合理分步.

四、教学过程

.引入

在计数问题中，重点要做到“分类清晰，分步合理”，那么问题将“迎刃而解”.

.思考一

有个工人，按下列条件，各有多少种分法？

（）分配到个不同的车间，每车间人；

（）分为组，每组人；

（）分为组，一组人，一组人，一组人；

（）分配到个不同的车间，一车间人，一车间人，一车间人；

（）分配到个不同的车间，每车间至少人.

答案：（）；（）;（）;（）;（）.

.思考二

现有个不同的白球和个不同的黑球，从中取个，至少有个黑球的概率是多少？

选取至少两个黑球为c；G：，这样做对吗？如果不对，错在那里？

.思考三

你会求方程项+/+…+匕=1。有多少组正整数解吗？

这个问题等价于：（）要从个班中选出个人参加数学竞赛，每个班至少一个

人，这个名额有多少种分配方案？（）当然，这个问题还可以等价于：把个球放入个不

同的盒子，每个盒子中至少放一个球，至少有多少种放法？

答案：种.

.随堂练习

o今欲从,，，，，，这七个数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法？（答案：）

o（江西）将个（含甲、乙）人平均分成组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种

数为多少种？（答案：）

o某段马路上有盏路灯，为了节约用电，现关掉其中的盏，但要求关掉的盏不能相邻，

且不在马路的两段，那么关灯的不同方案共有多少种？（答案：种）

（）学校准备把个三好学生的名额分给高二个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的

分配方案？（答案：种）

.课堂小结

解决一个排列组合题首先必须分清它是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过

程要注意掌握处理排列与组合的基本思想：即按元素的性质分类或按事件发生过程分

步.另外，对于同一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可以防止重复与遗

漏问题，又可提高分析问题、解决问题的能力.

・计数应用题（一）

一、教学目标

.体会分类、分步在计数中的重要作用；

.会解相邻、不相邻、定序问题；

.学会解含限制条件的计数问题，正面分类、分步较困难时会用排它法.

二、教学重点

应用计数原理解决应用题时，明确是排列问题还是组合问题.

三、教学难点

正确对排列组合问题进行恰当分类，合理分步.

四、教学过程

.正确进行合理分步、分类，区分排列、组合

■在直角坐标系平面上，平行直线（，，，…，）与平行直线

（）组成的图形中，矩形共有多少个？

解：每个矩形对应于两条水平直线与两条竖直直线，故共有个.

解题回顾：每个矩形对应于两条横线与两条竖线，分两步分别确定横线与竖线，从条横

（竖）线上选条，两横（竖）线无需排序，是组合问题.

.相邻、不相邻、定序问题

■某车队有辆车，现要调出辆按一定顺序去执行任务，要求甲、乙必须参加，且甲车要在

乙车前开出，那么有多少种不同的调度方法？

思路分析：本题要选排分开，先选再排.甲在乙之前（未必相邻）是固定次序问题，只

要定下位置不需排序，或者考虑到甲与乙换位后每两种排法中有一种满足条

件.

解法一：先选定车辆有种，在个位置中排定其余两辆车，剩下两位置按甲前乙后

安排，有种，故共有种.

解法二：不考虑甲、乙的次序有种，考虑各种方法中按甲、乙交换次序配对,

每对恰有一种符合要求，故共有+种.

■有名男生、名女生排成一排，问下列情形各有多少种不同的排法？

()甲不在正中间也不在两端；

()甲、乙两人必须排在两端；

()男、女生分别排在一起；

()男、女生相间；

()甲、乙、丙三人按从左到右顺序排(不一定相邻).

解：()先排甲，再排其余人，有种；

()先将甲乙捆绑，再排序，有A；.A；种；

()将男、女生分别看成整体有种；

()男生排，，，位，女生排,，位，有"♦用种；

O假设有个位置，让其余人排好，剩三个位置甲、乙、丙依次从左向右顺序排入，

有种.

.直接、间接法解含限制条件的计数问题

■从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又

有女生，则不同的选法共有多少种？

解法一：分类：

O男女，有种；

()男女,有c—c；种；

()男女，有种；

根据分类计数原理，共有种.

解法二：先不考虑''既有男生又有女生”的限制，共有种，再去掉其中只有男生的

种数种(本题中不可能只有女生).共有-种.

解题回顾：若从人任选人，列一张表，看看选出的学生中男女生分配情况：共有类，满

足条件的有类，而不满足条件的只有类，可见用排除法较简洁.

男生人

女生人

.随堂练习

()有名男司机、名女司机，现派名男司机、名女司机出发到五个不同的地区去，不同的

分配方案种数有多少种？（C；・）

O名教师分配到所中学任教，每所中学至少名教师，则不同的分配方案共有多少种？（）

（）在由数字，，，，组成的所有没有重复数字的位数中，大于且小于的数共有多少个？（个）

（）让名男生和名女生站成一排，其中任何两名女生不能相邻，则共有多少种不同的排法？

（种）

（）设坐标平面内有一质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位，经

过次跳动质点落在点（，）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有多少

种？