山东省聊城市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学 含解析

山东省聊城市2024-2025学年高三上学期11月期中教学质量检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”.2.作选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效.4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，即可根据交集定义求解.【详解】由可得，故，故选：C2.若，则（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】先由复数的四则运算求出，再计算，最后求其模长即得.【详解】由，可得，则.故选：B.3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ABD，由指数函数的单调性，即可判断C.【详解】取，满足，但，故A错误；取，满足，但是，故B错误；因为在上单调递减，由可得，故C正确；取，满足，但是，故D错误；故选：C4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦的和差角公式可得的值，从而可得的值，再由余弦的二倍角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，且，则，又，所以.故选：A5.若向量，则“”是“”（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据共线向量的坐标公式列方程，求出的值，再根据充要条件的判断方法即得.【详解】因，由，可得，解得或.由“”可推出“或”成立，而由“或”推不出“”成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.6.在中，，其外接圆的圆心为，则的最小值为（）A.4 B. C.16 D.【答案】D【解析】【分析】由向量数量积的运算可得，由为外接圆圆心，可得，，从而得，利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，因为为外接圆圆心，过作于，则为中点，所以，同理可得，所以，又因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立.故选：D.7.设，若为的最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求得时的最小值，再由导数可得时的最小值，再由为的最小值列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】当时，，对称轴为，当时，即，，当时，即，，不符合题意，所以，当时，，则，令，则，当时，f′x<0，则当x∈0,+∞时，f′则是函数的极小值点，又为的最小值，则满足，即，解得，又，所以实数的取值范围是0,1.故选：A8.若函数的定义域为，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得（），，从而得数列是等差数列，求出其通项公式，从而得，将代入，即可得答案.【详解】由，可得，当时，数列是公差为2的等差数列，首项为，所以，所以，所以.故选：C．【点睛】关键点睛：本题关键是得出是等差数列，从而得函数的解析式.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.数列中，记为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则（）A. B.C.数列是单调递增数列 D.当取最大值时，或【答案】ABD【解析】【分析】由条件确定为等比数列，再结合通项公式及求和公式逐项判断即可.【详解】由得即首项为，公比为的等比数列，所以，正确；，正确；，故数列是单调递减数列，错误；因为首项为，公比为的等比数列，单调递减，，所以当取最大值时，或，正确；故选：ABD10.若函数，则（）A.B.当时，函数在区间上单调递增C.当时，将图象向左平移个单位后得到的图象D.当函数在上恰有2个零点和2个极值点时，的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数性质，来解决问题.【详解】由函数整理得：，所以，故A错误；当时，函数，由，可得：，根据正弦函数在区间单调递增，可知函数在区间上单调递增，故B正确；当时，函数，将图象向左平移个单位后得到：，此时满足题意，故C正确；当时，，为了使得函数在上恰有2个零点和2个极值点，只需要满足，解得，故D错误；故选：BC.11.若点是函数图像上的两点，则（）A.对任意点，存在无数点，使曲线在点A，B处的切线的倾斜角相等B.当函数存在极值点时，实数的取值范围为C.当且在点A，B处的切线都过原点时，D.当直线AB的斜率恒小于1时，实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，由函数存在极值点，转化为导数存在变号零点，分离参数，即可判断；选项C，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得；选项D，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求.【详解】对于A，因为，要使，则，得，所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确：对于B，，令，则，且，则，即，又，则，故B错误；对于C，曲线y=fx在点A，B由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为，则，由切线过原点，则切线即直线的斜率，所以，化简得，若时，则，这与矛盾，故，所以有，同理可得，所以由，得，故C正确．对于D，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则，即，所以在上是减函数，所以恒成立，设，x∈R，且，所以要使恒成立，则，即，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是通过切线方程得到，化解得到，同理得到，则有，即可判断C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最小正周期为______.【答案】【解析】【分析】利用，即可求解.【详解】解：小正周期为，故答案为：.13.我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数）【答案】16【解析】【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案.【详解】由题意得，即，故，因为，所以，故，所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准.故答案为：1614.设，若，使得对恒成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求导，分与分类讨论求得，进而可得，构造函数，求得的范围，可求的取值范围.【详解】由，可得，令，可得，所以，当时，在上单调递减，无最大值，不符合题意，当时，方程解为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，因为，使得对恒成立，所以，所以，所以，令，求导可得，当，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所认所以，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：对于恒成立问题，通常是通过分离变量，构造函数，利用函数的最值解决有关问题.四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处取得极小值.（1）求m，n的值；（2）若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求导，根据得到方程组，求出，，检验为极小值点，得到答案；（2）在（1）基础上，得到的极大值为，极小值为，转化为y=fx与有3个不同的交点，所以.【小问1详解】，，，解得，，故，，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，满足要求；【小问2详解】由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且，，故的极大值为，极小值为，又趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，综上，要想有3个不同零点，即有3个不同的实数根，即y=fx与有3个不同的交点，所以.16.记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.（1）求；（2）若的面积为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换化简，即可解决；（2）利用三角形的面积公式，得，再利用余弦定理得，最后结合正弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，化简得，因为，即，所以，得，因为，所以，又，所以.【小问2详解】由（1）知，又的面积为，所以，即，由余弦定理可得，所以，，，即由正弦定理得，，所以，17.函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数，已知函数.（1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形；（2）判断函数的单调性，若，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）单调递增，【解析】【分析】（1）根据为奇函数，结合奇函数的定义即可求解,（2）根据函数的单调性和奇偶性，即可根据得求解.【小问1详解】令，定义域为,则，故为奇函数,因此为奇函数，故的图象关于点成中心对称图形，【小问2详解】由于，均为单调递增函数，故为定义域内的单调递增函数，由于，且为单调递增函数，故单调递增，故由可得，即，故，解得18.数列中，若，使得，都有成立，则称数列为“三合定值数列”，已知.（1）求；（2）设，证明：数列为等比数列，并求；（3）设，求数列的前项和.【答案】（1），，.（2）证明见解析，（3）【解析】【分析】（1）由，代入计算，即可得到结果；（2）由条件可得，即可证明，结合的通项公式，分别讨论为奇数以及为偶数的情况，即可得到结果；（3）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为，所以，且，则，即，解得，又，即，解得，又，即，解得，所以，，.【小问2详解】因为，则，且，即，所以，即，又，则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，所以①，，则②，，两式相减可得，即的奇数项为等差数列，且，令，则，所以（为奇数），又③，由③①可得，，所以的偶数项为等差数列，且，令，则，即，综上所述，.【小问3详解】因为，当为奇数时，，当为偶数时，，综上，，则，，两式相减可得，，，，，所以.【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键在于，分类讨论为奇数与偶数两种情况，从而得解.19.设函数，已知曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，区间上单调递减，在区间上单调递增.（3）【解析】【分析】（1）根据可得；（2）先求得，根据，，，分类讨论即可.（3）将问题转化为在上恒成立，先求，设，，根据，将分为和验证即可.【小问1详解】由题意，可得【小问2详解】由题意的定义域为，，当时，，故在区间上单调递增，当时，令得，当时，，当时，f′x>0，当时，f′x故在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，f′x>0，故在区间上单调递增，当时，，当时，f′x<0，当时，f′x故在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上所述：当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.【小问3详解】由得，即，设，则由题意在上