高三上学期期中考试数学试卷（带答案）

第第页PAGE高三上学期期中考试数学试卷（带答案）试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无兹。3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则A． B． C． D．2．已知集合，则A． B． C． D．3．已知事件互斥,且满足，则A． B． C． D．4．向量在向量上的投影向量的坐标为A． B．C．D．5．已知底面半径为的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为 A． B． C． D．6．已知椭圆的离心率为，焦点为，一个短轴顶点为则A． B． C． D．7．已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为则A． B． C． D．8．已知为双曲线右支上一点，过点分别作C的两条渐近线的平行线与另外一条渐近线分别交于点则A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛,得到8名同学的射击环数如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则这组样本数据的A．极差为4 B．平均数是8C．上四分位数是9 D．方差为410．已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为则A．存在和实数t,使得B．不存在和实数满足C．存在和实数满足D．若存在实数t满足，则只能是指数函数11．已知F(l，0)，圆，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交y轴于A，B两点，设，则A．当点N在y轴上时， B．的取值范围是C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.（用数字作答）13．已知正数满足则的最小值为.14．若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知的三个内角A，B，C所对的边分别是且(1)求C；(2)若求外接同的半径．16．（15分）已知函数(l)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：17．(15分)已知抛物线的焦点为和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．(1)求C的方程；(2)讨论过点的直线的交点个数18．(17分)在三棱锥中，底面分别为的中点，E为线段PA上一点，平面底面ABC．(1)若求二面角的余弦值；(2)求.19．（17分）已知数列一共有项，成公差不为0的等差数列,对任意的成等差数列，且对于不同的其公差为同一个非零常数.(1)若求数列的各项之和;(2)证明：成等差数列；(3)从中任取三个数，记成等差数列且也成等差数列的概率为，证明：.参考答案1．【答案】A【解析】由，故故选A．2．【答案】C【解析】，或.故选C．3.【答案】D【解析】由全概率公式可得故选D．4．【答案】B【解析】因为所以在上的投影向量为故选B．5．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为,由,得故，所以圆锥的体积故选C．6．【答案】D【解析】设C的中心为O，长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则在等腰三角形中，因为C的离心率为，所以在直角三角形中，故.故选D．7．【答案】C【解析】设的最小正周期为，依题意，得解得所以解得，所以所以故选C．8．【答案】C【解析】设坐标原点为0，易知C的渐近线的方程为联立解得不妨取同理可得则=,因为四边形OADB是平行四边形，于是由于点D在C上，所以因此故选C．9．【答案】ABC（每选对1个得2分）【解析】将这组数据从小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10，对于A，这组数据的极差为故A正确；对于B，平均数为故B正确；对于C，因为所以上四分位数为故C正确；对于D，方差为故D错误，故选ABC.10．【答案】AC（每选对1个得3分）【解析】令则存在实数使得A正确；存在，故B错误；令则C正确；若故D错误．故选AC.11．【答案】ACD（每选对1个得2分）【解析】当在y轴上时，则，则故A正确；代入得可得N在以坐标原点O为圆心为半径的圆上运动，又圆N交轴于A，B，故故B错误；以为直径的圆N的方程可写为令可得，即，则分别为方程的两根由韦达定理得故C正确；要证,即证所以，即故D正确，故选ACD．12．【答案】70【解析】由题意可得功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1种的买法种数为13．【答案】【解析】由题意可得,故，故,当且仅当，即时取等号.14．【答案】【解析】等号左边的分子和分母同时除以等号右边的分子和分母同时除以分离出参数,设则当时，单调递增，当时单调递减，且时，时且方程有唯一解，故15.解：(1)由题意得（2分）又（4分）（5分）化简得，（6分）又（7分）(2)在中，由余弦定理得（10分）设的外接圆半径为故（12分）外接圆的半径为2．（13分）【评分细则】第一问在最终求值时，如果未说明角C的取值范围扣1分．16．(1)解：当时（2分）（4分）故曲线在点处的切线方程为（6分）(2)证明：当时，（8分）令则，所以在上单调递增，（11分）又所以当时，单调递减；（12分）当时，单调递增，（13分）故（15分）【评分细则】第二问用其他方法证明酌情给分．17．解：(1)由题意得焦点准线方程为以焦点和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，则其高为2，（3分）即焦点到准线的距离解得（负值舍去），（5分）所以C的方程为.（6分）(2)若直线l的斜率存在，设l的方程为由方程组可得（8分）(I)当k=0时，解得此时方程只有一个实数解，l与C只有一个公共点；（9分）(Ⅱ)当时，方程的根的判别式为，（10分）(i)由，解得此时方程有两个相等的实数解，l与C只有一个公共点；（11分）(ii)由，解得此时方程有两个不等的实数解，l与C有两个公共点；（12分）(iii)由．解得此时方程没有实数解，l与C没有公共点；（13分）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为易知l与C没有公共点．（14分）综上，当l的方程为的斜率时，l与C的交点个数为0；当l的斜率时,l与C的交点个数为1；当l的斜率时，l与C的交点个数为2．（15分）【评分细则】第二问如果考生设的直线方程为其他形式，按步骤酌情给分18．解：(1)因为，故以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为轴，过点A作垂直于平面ABC的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则（1分）则（2分）因为平面底面易得平面的一个法向量为（4分）设平面的法向量为则可得令可得，（6分）设二面角为则（8分）故二面角的余弦值为（9分）(2)连接AM交BN于点O，则而.（11分）故从而从而又平面底面ABC，平面底面（14分）故平面EBN，故故（17分）【评分细则】其他解法酌情给分．19.首先构造如图的数表M:a1a2a3…amam+1am+2am+3…a2m……………am(m-1)+1am(m-1)+2am(m-1)+3…(1)解：由题意得又由数列的定义知则可补全数表M如图所示．135357579（3分）则数列的各项之和为45.（5分）(2)证明：如数表M所示，即证明左上至右下的对角线（记为l）上的数成等差数列由该数表中的数的定义可知，该数表每行均为等差数列且公差相同，设公差为每列也为等差数列且公差相同，设公差为，那么那么数列是以为首项为公差的等差数列．（9分）(3)证明：不妨将数表M的每个数看作一个点，若P，Q，R三点共线，且关于中间的一点中心对称，则显然这三个点对应的数构成等差数列．（11分）在该数表中，只需要横