专题03正比例函数和反比例函数(原卷版+解析)

专题03正比例函数和反比例函数一、单选题1．下列关系不是函数关系的是

（

）A．长方形的宽一定时，它的长与面积．B．正方形的周长与面积．C．等腰三角形的底边长与面积．D．等腰三角形顶角的度数与底角的度数．2．若反比例函数（）的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（）A． B． C． D．3．下列函数中，属于正比例函数的有（

）①；②；③④；⑤；⑥A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．若y与x-2成反比例，且当x=3时，y=5，则y与x之间的关系式是（

）A．y= B．y= C．y=-2 D．y=+25．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（）A．第一、三象限 B．第一、四象限C．第二、三象限 D．第二、四象限6．对于函数，下列说法不正确的是（

）A．y是x的反比例函数B．在图象的每一个象限内，y随x的增大而增大C．时，y随x的增大而增大D．时，y随x的增大而减小7．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．A．A B．B C．C D．D8．在反比例函数为常数）上有三点，，，，，，若，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．9．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下图所示：支撑物高度h（cm）10203040506070小车下滑时间t（s）4.233.002.452.131.891.711.59根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（

）A．支撑物的高度为50cm，小车下滑的时间为1.89sB．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小C．若支撑物值高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同D．若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间10．如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（

）A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）二、填空题11．已知函数，那么________．12．函数的定义域是________．13．如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是_____．14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，轴，垂足为B，则的面积为_____．15．若双曲线上的两点，满足，，则的取值范围___________．16．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是___．（用“＜”连接）17．是反比例函数在第一象限内的图像，且过点，与关于轴对称，那么图像的函数解析式为______．18．如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作轴，分别交函数和函数的图像于两点，连接，则的面积为___________。三、解答题19．已知反比例函数的图象经过点A（-2，-3）．(1)求该反比例函数的表达式；(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．20．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，，求y关于x的函数解析式．21．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．(1)求a，n的值；(2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．22．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）(1)求k的值；(2)此函数图象在象限，在每个象限内，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）(3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；(4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为．23．太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分钟，每分钟的排水量为x升．(1)写出y与x的函数关系式；(2)若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量的取值范围；24．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：(1)请直接写出点B所对应的数；(2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；(3)轿车出发多长时间追上货车？25．如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4．(1)求k的值；(2)求的面积．26．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；x…1234…y…31m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）②函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到；③函数的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）(3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值专题03正比例函数和反比例函数一、单选题1．下列关系不是函数关系的是

（

）A．长方形的宽一定时，它的长与面积．B．正方形的周长与面积．C．等腰三角形的底边长与面积．D．等腰三角形顶角的度数与底角的度数．答案:C分析：根据函数的概念可直接进行排除选项．解析：长方形的面积=长×宽，当宽一定时，它的长与面积成函数关系故A正确；正方形面积=正方形的周长的平方的十六分之一，故B正确；等腰三角形的面积=底边长×底边上的高×0.5，当底边上的高不确定时，等腰三角形的底边长与面积不成函数关系，故C不正确；等腰三角形顶角的度数是180与底角的度数2倍的差，等腰三角形顶角的度数与底角的度数成函数关系，故D正确．故选C．【点睛】本题主要考查函数的概念，熟记掌握函数的概念是解题的关键．2．若反比例函数（）的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（）A． B． C． D．答案:D分析：把代入中求出k的值，从而得到反比例函数解析式．解析：解：∵反比例函数（）的图象经过点，∴，∴反比例函数解析式为，故选：D．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式（k为常数，）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程，解方程，求出待定系数是解题的关键．3．下列函数中，属于正比例函数的有（

）①；②；③④；⑤；⑥A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案:B分析：根据正比例函数的定义判断即可．解析：解：①不是正比例函数，不合题意；②是正比例函数，符合题意；③，不是正比例函数，不合题意④是正比例函数，符合题意；⑤不是正比例函数，不合题意；⑥是正比例函数，符合题意．故正比例函数有3个．故选：B．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．4．若y与x-2成反比例，且当x=3时，y=5，则y与x之间的关系式是（

）A．y= B．y= C．y=-2 D．y=+2答案:B分析：利用待定系数法求解即可．解析：解：∵y与x-2成反比例，∴（k≠0），∵当x=3时，y=5，∴，即：k=5，∴y=，故选：B．【点睛】本题主要考查求函数解析式，掌握反比例函数的定义以及待定系数法是关键．5．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（）A．第一、三象限 B．第一、四象限C．第二、三象限 D．第二、四象限答案:D分析：根据正比例函数的定义知，且，由此可求得m的值，从而可知正比例函数图象所经过的象限．解析：由题意知：且由得：由得：∴m=-1此时正比例函数解析式为y=－2x∵－2<0∴函数图象经过第二、四象限故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的概念，把形如y=kx（k≠0）的函数称为正比例函数，掌握正比例函数概念是解题关键．特别注意一次项系数不为零．6．对于函数，下列说法不正确的是（

）A．y是x的反比例函数B．在图象的每一个象限内，y随x的增大而增大C．时，y随x的增大而增大D．时，y随x的增大而减小答案:D分析：利用反比例函数的性质解答即可．解析：解：A、根据函数的定义可知对于函数，是一个y关于x的反比例函数，正确；B、∵，∴根据反比例函数的性质在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而增大，正确；C、时，图象在第四象限，y随x的增大而增大，正确；D、应为时，图象在第二象限y随x的增大而增大，错误．故选：D．【点睛】本题主要考查当时的反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．7．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．A．A B．B C．C D．D答案:C分析：根据正比例函数的定义知，函数值与自变量的比值为定值，所以求得四个点的纵坐标与横坐标的比，即可知结果．解析：由于点A、B、D三个点的纵坐标与横坐标的比相等，即，但点C的纵坐标与横坐标的比即点C与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的定义及正比例函数的图象，掌握正比例函数的定义与图象是关键．8．在反比例函数为常数）上有三点，，，，，，若，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．答案:C分析：根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．解析：解：，．反比例函数为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而减小．，，，即．故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．9．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下图所示：支撑物高度h（cm）10203040506070小车下滑时间t（s）4.233.002.452.131.891.711.59根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（

）A．支撑物的高度为50cm，小车下滑的时间为1.89sB．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小C．若支撑物值高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同D．若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间答案:C分析：运用表格的数据，对选项进行逐一判断和推测，运用排除法得到正确选项．解析：解：A、由表格可知，当h=50cm时，t=1.89s，故本选项正确，不符合题意；B．通过观察表格可得，支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小，故本选项正确，不符合题意；C．通过观察表格，当支撑物的高度每增加10cm，对应小车下滑时间的变化情况不相同，故本选项错误，符合题意；D．若小车下滑时间为2.5s，通过表格容易判断出支撑物的高度在20cm~30cm之间，故本选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了变量与函数之间的问题，关键在于能够通过表格分析各个选项，得出正确答案．10．如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（

）A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）答案:B分析：作轴于H．证明（AAS），推出OA=BH，，设再表示出点D坐标，再利用D在的图象上列方程，再解方程即可解决问题．解析：解：作轴于H．结合题意可得：，∴，∠ABO+∠BAO=90°，∴，∵，∴（AAS），∴OA=BH，OB=，设而为的中点，则∵点A的坐标是，为的中点，∵反比例函数的图象经过点D，∴解得：或，则故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，一元二次方程的解法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11．已知函数，那么________．答案:分析：根据函数的解析式，根据已知自变量的值求函数值即可，然后分母有理化．解析：解：∵∴故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义，根据自变量的值，求函数值，分母有理化，理解函数的表示方法是解题的关键．12．函数的定义域是________．答案:0≤x＜5分析：根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，就不等式得到答案．解析：解：由题意得：x≥0且5-x＞0，解得：0≤x＜5，故答案为：0≤x＜5．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．13．如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是_____．答案:分析：根据正比例函数的性质列不等式求解即可．解析：解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得，k＜2．故填：k＜2．【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，轴，垂足为B，则的面积为_____．答案:6分析：根据轴，垂足为B，即可利用反比例函数k的几何意义得到．解析：解：∵轴，∴，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．15．若双曲线上的两点，满足，，则的取值范围___________．答案:分析：根据反比例函数的性质结合题意，即可判断反比例函数图象分布在第二、四象限，于是得到，然后解不等式即可．解析：解：∵，，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大是解题关键．16．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是___．（用“＜”连接）答案:分析：先画出反比例函数y＝（k＞0）的图象，在函数图象上描出点（a，m）、（b，n）和（c，t），再利用函数图象可得答案.解析：解：如图，反比例函数y＝（k＞0）的图像在第一，三象限，而点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，a＜0＜b＜c，即故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握“利用数形结合比较反比例函数值的大小”是解本题的关键.17．是反比例函数在第一象限内的图像，且过点，与关于轴对称，那么图像的函数解析式为______．答案:分析：把A（2,5）代入求出k值，即得到反比例函数的解析式．进一步根据与关于轴对称的性质得到的函数解析式．解析：解：把A（2,5）代入，得k=10，∴反比例函数的解析式是，∵与关于轴对称，∴l2的解析式应为．故答案为．【点睛】本题考查反比例函数及轴对称的知识，用待定系数法求反比例函数的解析式．难度不大．18．如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作轴，分别交函数和函数的图像于两点，连接，则的面积为___________。答案:2.5分析：由轴可知，拆分即可得出结论．解析：解：∵轴，∴轴，轴，∴，又∵，∴．故答案为：2.5【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是通过拆分三角形求出的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由反比例函数系数k的几何意义得出和，再根据三角形之间的关系得出结论．三、解答题19．已知反比例函数的图象经过点A（-2，-3）．(1)求该反比例函数的表达式；(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．答案:(1)(2)不在该反比例函数的图象上，理由见解析分析：（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求解析式求出当x=2时的函数值即可得到答案．（1）解：设反比例函数解析式为，由题意得：，∴，∴反比例函数解析式为；（2）解：点不在该反比例函数的图象上，理由如下：当时，，∴点（2，3）在反比例函数图象上，点不在该反比例函数的图象上．【点睛】本题主要考查了待定系数法去反比例函数解析式，求反比例函数函数值，正确利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．20．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，，求y关于x的函数解析式．答案:．分析：设，从而可得，再将两组的值代入可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得．解析：解：由题意可设，则，当时，；当时，，，解得，故关于的函数解析式为．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．21．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．(1)求a，n的值；(2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．答案:(1)，(2)15分析：（1）先将点代入直线的解析式可得的值，再根据求出反比例函数的解析式，然后将点代入反比例函数的解析式即可得的值；（2）先求出点的坐标，再过点作轴的垂线交直线于点，根据直线的解析式求出点的坐标，然后根据的面积等于与的面积之和即可得．（1）解：将点代入得：，解得，将点代入得：，则反比例函数的解析式为，将点代入得：；（2）解：对于函数，当时，，即，如图，过点作轴的垂线交直线于点，则点的横坐标为1，由（1）可知，直线的解析式为，当时，，即，，，的边上的高为1，的边上的高为，则的面积为．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．22．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）(1)求k的值；(2)此函数图象在象限，在每个象限内，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）(3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；(4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为．答案:(1)k=6；(2)一、三；减小(3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析(4)﹣6＜y＜﹣2分析：（1）利用待定系数法求出k的值即可；（2）利用反比例函数的性质进而得出答案；（3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可；（4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可．（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×3=6；（2）解：∵k=6＞0，∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；故答案为：一、三；减小；（3）解：∵k=6，∴反比例函数的解析式为y=，∵当x=-1时，y==-6，∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上；（4）解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6，则y的取值范围为：-6＜y＜-2．故答案为：-6＜y＜-2．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性质是解题关键．23．太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分钟，每分钟的排水量为x升．(1)写出y与x的函数关系式；(2)若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量的取值范围；答案:(1)(2)分析：（1）根据工作时间乘以每分钟的排水量等于总容量，可得出y与x的关系式．（2）根据反比例函数的性质可得在每一个象限内，y随x的增大而减小，即可．（1）解：根据题意得：y与x的函数关系式为；（2）解：∵热水器连续工作最长时间是1小时，∴，∵函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，∴当时，x最小，最小值为，解得：，∴自变量的取值范围为．【点睛】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键．24．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：(1)请直接写出点B所对应的数；(2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；(3)轿车出发多长时间追上货车？答案:(1)1.5(2)轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米(3)轿车出发2.4小时追上货车分析：（1）点B所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；（2）根据图象先算出货车的速度，用轿车到达乙地所用的时间乘以货车的速度可算出货车与甲地的距离；（3）由图象可知两车相遇在第2.5小时之后，算出轿车在CD段的速度，根据等量关系，轿车行驶路程＝货车行驶路程，列出方程解决问题即可．（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时除法，∴轿车第1.5小时出发，∴点B所对应的数是1.5；（2）解：根据图象可知，货车速度是（千米/小时），（千米），∴轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；（3）解：∵轿车在CD段的速度是：（千米/小时），设轿车出发x小时追上货车，∴，解得，∴轿车出