数学素材：教材梳理反证法与放缩法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。记忆要诀用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示。2。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤:第一步，分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步，作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发,应用正确的推理方法，推出矛盾结果;第四步，断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较常见的结论词与反设词原结论词等于（=）大于（〉)小于（〈）对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或qp且q反设词不等于（≠）不大于（≤）不小于(≥）存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个至多n-1个至少n+1个且或3通常在什么情况下用反证法？有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原有结论是正确的。学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合。高考解答题中,常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明,历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。二、放缩法1。放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B1,B1≤B2，…，B1≤A，或A≥A1,A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，达到欲证的目的。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛.2。放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母)异分母(分子）的两个分式大小的比较.3.放缩法经常采用的技巧有:①舍去一些正项（或负项)，②在和或积中换大(或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子(或分母）等.如：。误区警示用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的.典题·热题知识点一：反证法证明不等式例1设a3+b3=2，求证a+b≤2.思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法。证明:假设a+b〉2，则有a>2—b，从而a3〉8-12b+6b2—b3，a3+b3〉6b2-12b+8=6(b—1)2+2.所以a3+b3〉2，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立。误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了。例2设二次函数f（x）=x2+px+q，求证：|f（1)|，|f（2）｜，|f(3）｜中至少有一个不小于。思路分析：要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易,通常采用反证法进行.证明：假设|f(1）|,｜f(2)｜，｜f（3)｜都小于，则｜f(1)｜+2｜f（2）|+｜f（3)｜〈2.①另一方面，由绝对值不等式的性质,有|f（1）|+2｜f（2）|+|f（3)|≥|f（1）-2f(2)+f（3)｜=|（1+p+q)—2（4+2p+q）+(9+3p+q)｜=2。②①②两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及临时假定矛盾等各种情况。例3设0<a，b，c<1，求证：(1-a）b，（1-b)c,（1—c)a不可能同时大于.思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……"字样,而且三个式子的地位相同,结合0<（1—a)a≤［］2=，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法.证明：设（1—a)b>,（1—b)c>,(1—c）a>，则三式相乘：（1-a)b·（1—b）c·（1—c)a〉。①又∵0〈a，b，c<1，∴0〈（1-a）a≤[]2=.同理：(1—b)b≤,(1—c）c≤，以上三式相乘：（1—a）a·(1—b）b·（1—c)c≤，与①矛盾。∴原式成立。巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少"等字句时，可考虑使用反证法.知识点二：放缩法证明不等式例4当n〉2时，求证:logn(n-1）logn（n+1）<1.思路分析：不等式左边含有不确定字母n，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好.证明：∵n>2，∴logn（n-1）〉0，logn(n+1）>0。∴logn（n—1)logn(n+1)<［］2=［］2<［］2=1。∴n〉2时,logn(n—1)logn（n+1）〈1.方法归纳在用放缩法证明不等式A≤B时,我们找一个（或多个）中间量C作比较,即若能断定A≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C,再把C放大到B；反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头,缩不能不及。例5若n是正整数，求证〈2。思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定,分析此式的形式特点,借助进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明。证明：∵，k=2，3,4…,n.∴.巧解提示实际上,我们在证明〈2的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例6设a、b、c是三角形的边长，求证≥3.思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的.证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c,则b+c—a≤c+a—b≤a+b-c,且2c—a—b≤0，2a—b-c≥0.∴-3=-1+-1+—1==0,∴≥3。方法归纳本题中为什么要将b+c—a与a+b-c都放缩为c+a—b呢?这是因为2c-a-b≤0，2a—b-c≥0，而2b-a—c无法判断符号，因此无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度.问题·探究交流讨论探究问题有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？探究过程：学生甲：反证法太难了，都是逆向思维,根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话,说明假设的不对。学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少"“不可能"等时就用反证法。学生甲:那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以。学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了。老师:反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好。还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾,也就是要多积累素材.探究结论：反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了,说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了。思想方法探究问题反证法证题，可以说是一个难点,就是感觉难懂难用。因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章。而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限,从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程：其实，反证法作为证明方法的一种,有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛,只是我们没有注意罢了。下面看两则故事,体会一下,对我们正确理解反证法很有帮助。故事一：南方某风水先生到北方看风水,恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨,何不当初就下雨。"他的歪诗又恰被一牧童听到,亦作一打油诗讽刺风水先生:“先生吃饭不吃屎,饭到肚里变成屎;早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上,小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果,不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理,只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么,根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道,还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上，去摘李子,独有王戎没动