数学素材：教材梳理第二讲三圆的切线的性质及判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、圆的切线的性质定理及推论1。圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点，否则结论不成立。由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点且垂直于切线的直线一定经过圆心，由此可以得到两个推论。2。推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识拓展分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个：（1)垂直于切线;（2）过切点；（3）过圆心.于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.误区警示圆的切线还有两条性质应当注意，一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径。在许多实际问题中，我们也利用它们来解决。二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。在定理中要分清定理的题设和结论,强调“经过半径外端"和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线,如图2-图22。用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径.方法归纳在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这直线与这半径垂直;否则需先向这直线作垂线，再证这垂线段是圆的半径.问题·探究问题判断一条直线是否是圆的切线，通常有哪些方法?一般如何选取合适的方法？思路:从圆与直线公共点的个数、直线到圆心的距离、直线与半径的位置思考。探究：判定切线通常有三种方法：（1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化,在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用（2），如果涉及到线段的位置关系等,通常选取(3）.典题·热题例1如图2—图2求证：⊙O与CD相切.思路分析：欲证⊙O与CD相切,只需证明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径即可.证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，∴AD∥OE∥BC。∵O为AB的中点,∴E为CD的中点。∴OE=(AD+BC）.又∵AD+BC=AB，∴OE=AB=OA，即OE是⊙O的半径.∴⊙O与CD相切.方法归纳在不知道圆与直线是否有公共点的情况下,通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径,即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一。例2如图2-3—3所示，已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F,AD=图2（1）求⊙O的半径；（2)求线段DE的长。思路分析：(1）连结OC，证C为DE的中点。在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF,证四边形ADEF为矩形，从而得到AD=EF,DE=AF，然后在Rt△ABF中运用勾股定理,求AF的长.解：（1）连结OC。∵MN切半圆于点C，∴OC⊥MN。∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE。∵OA=OB,∴CD=CE。∴OC=（AD+BE）=5cm。∴⊙O的半径为5cm.（2）连结AF.∵AB为半圆O的直径,∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.又∠ADE=∠DEF=90°，∴四边形ADEF为矩形.∴DE=AF，AD=EF=3cm。在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4cm，AB=2OC=10cm。由勾股定理，得AF=,∴DE=cm。深化升华在梯形当中,最常见的辅助线是高，通过作高,可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关计算;当题目中涉及圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系.例3如图2-图2（1)求证：AD∥OC；（2)若⊙O的半径为1，求AD·OC的值.思路分析:对于（1），连结OD、BD,证AD⊥BD,OC⊥BD；对于（2)，连结BD,证△ABD∽△OCB即可.（1）证明:连结OD、BD。∵BC、CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD。∴∠OBC=∠ODC=90°。又∵OB=OD，OC=OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC=CD.∵OB=OD,∴OC⊥BD。又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°,即AD⊥BD。∴AD∥OC。（2)解：∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC。又∠ADB=∠OBC=90°，∴△ABD∽△OCB。∴。∴AD·OC=AB·OB=2×1=2。例4如图2-3—图2思路分析:由EF和小圆切于点C，易知EF⊥CD.因为CD为小圆的直径,联想“直径上的圆周角为90°”，考虑连结GC，则GC⊥ED.由已知条件容易求出