教案 均值不等式教案

课题均值不等式年级授课对象编写人LTX时间2013.4学习目标1．理解掌握算术平均数与几何平均数的概念，能利用均值定理解决相关问题；2．通过对均值不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．3．在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯和良好的思维习惯,培养学生积极探索的态度和克服困难的毅力。学习重点、难点均值定理的理解掌握和灵活运用既是教学重点又是教学的难点教学过程T（测试）求的值域，(考查一正)求的最小值。(考查二定)求的最小值。(考查二定)X>0,Y>0,，求的最小值。S（归纳）均值不等式以及与之相关的不等式内容均值定理及重要变形基本形式其他形式若，则(当且仅当时取“=”）.若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”E（典例）公式运用举例例1.已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（）Ａ．a2+b2Ｂ．２Ｃ．2bＤ．+b解析：只需比较a2+b2与+b。由于a、b∈（0，1），∴a2<a,b2<b∴a2+b2<+b；选D迁练1.（01年.北京春）若实数满足，则的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：都是正数，≥当且仅当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．二．公式运用条件例2．求的值域，解。X>0,(当仅当x=1时取等)又由奇函数性质，故函数值域为（-∞，-2][2，+∞）迁练2.的值域为例3。求最小值。解。2x+=2(x-1)+2+2+2=2+2(当仅当2（x-1）=时，即x=2+时取等)原函数最小值2。迁练3.设，求函数的最大值。解：∵∴当且仅当即时等号成立。例4.求的最小值解。Slnx++2+3=5(当仅当slnx=1时等)所以原函数最小值5.迁练4.求y=x+,(x1)的最小值三．两次放缩的取等例5.（2009·重庆)已知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2) C．4 D．5解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)≥4eq\r(\f(1,ab)·ab)＝4当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b,\f(1,ab)＝ab))，即a＝b＝1时，等号成立，因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值为4.答案：C迁练5.1.（00年.全国卷）若，则的大小关系是.分析：∵∴（∴R>Q>P。迁练5.2.若是正数，则的最小值是（）A．3 B． C．4 D．解：==≥1+2+1=4当且仅当，即时等号成立故选C。四．构造倒式和添项拆填技巧例6．设a、b∈(0，＋∞)，若a＋b＝2，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值等于()A．1 B．3 C．2 D．4解析：因为(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))，即(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，其中a＋b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.当eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)，且a＝b即a＝b＝1时，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取得最小值2.答案：C迁练6.已知（为常数），，求的最小值例7.最小值。解。==++2+2=4,(当仅当)迁练7.若,求的最小值五．和积的转换例8．若正数满足，则的取值范围是.分析：因为是正数∴∵∴当且仅当即时等号成立。故的取值范围是[9，+∞）。迁练8.设，，且，则课后小结：二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”.注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三取等”.3.创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的方向在于使不等式运用时能消去变量得定值和使等号能成立.4.多次放缩应特别注意不等式方向和取等的公共条件。P(练习）1．若实数a、b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.eq\f(1,2) B．a2＋b2 C．2ab D．a解析：∵a＋b＝1，a＋b＞2eq\r(ab)，∴2ab＜eq\f(1,2).由a2＋b2＞2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝2·eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，又0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大．。答案：B2.求下列函数的最值：（1）；（2）；3.已知，，且，求的最大值.4.已知≥，≥，且，求证：≤5.（01年.北京春）若实数满足，则的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：都是正数，≥当且仅当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．6.(2009·天津)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()A．2 B.eq\f(3,2) C．1 D.eq\f(1,2)解析：由ax＝by＝3得：x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，当且仅当a＝b＝eq\r(3)时“＝”号成立，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为1.答案：C测试题选择题：1．x∈R，下列不等式恒成立的是（）A．x2+1≥xB．<1C．lg(x2+1)≥lg(2x)D．x2+4>4x2．已知x+3y-1=0，则关于的说法正确的是（）Ａ．有最大值8Ｂ．有最小值Ｃ．有最小值8Ｄ．有最大值3．Ａ设实数x，y，m，n满足x2+y2=1，m2+n2=3那么mx+ny的最大值是（）Ａ．Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（）Ａ．（a+b）()≥4Ｂ．a3+b3≥2ab2Ｃ．a2+b2+2≥2a+2bＤ．5．下列结论正确的是（）A．当x>0且x≠1时，lgx+≥2B．当x>0时，+≥2C．当x≥2时，x＋≥2D．当0<x≤2时，x－无最大值6．若a、b、c>0且a(a+b+c)+bc=，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．2D．2二．填空题：7．设x>0，则函数y=2－－x的最大值为；此时x的值是。8．若x>1，则log＋log的最小值为；此时x的值是。9．函数y=在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________．10．函数f(x)=(x≠0)的最大值是；此时的x值为_______________．三．解答题：11．函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求的最小值为。12．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？13．已知x,y∈（－，）且xy＝－1，求s=的最小值。参考答案：选择题：1．B2．B解析：＝＝3。A解法一：设x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。解法二、m2+n2=3＝1∴2＝x2+y2＋≥∴mx+ny≤。4．B解析：A、C由均值不等式易知成立；D中，若a<b，结论显然，若a≥b则这显然也成立。取a=0.1，b=0.01，可验证B不成立。5．B解析：A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。6．D解析：(2a+b+c)2=4a2+(b2+c2)+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4()＝4（）2当且仅当b=c时等号成立。∴最小值为2。二．填空题：7．－2，28．2，29。解析：y=＝＝≥5，当且仅当x=3时等号成立。10。解析：f(x)=＝，此时x＝。三．解答题：11．解析：∵y=logax恒过定点（1，0），∴y=loga(