5.3.2函数的极值与最大（小）值课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值

（2）复习引入即f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.2.对于可导函数，若x0是极值点，则f

'(x0)=0;反之，若f

'(x0)=0，则x0不一定是极值点.3.求可导函数f(x)极值的步骤：(2)

求导数f

′(x)；(3)

求方程f

′(x)=0的根；(4)

用方程f'(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格.检查f

′(x)在方程根左右的符号：如果左正右负（左增右减），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（左减右增），那么f(x)在这个根处取得极小值.(1)确定函数的定义域；＋－x0－＋x04.函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

（2）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值

.我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.思考1：下图是函数y=f(x),x∈[a,b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗?xyOabx1x2x3x4x5x6探究：求可导函数在给定区间上的最值xyOabx1x2x3x4x5x6追问：你能进一步找出函数在区间[a,b]上的最小(大)值吗？思考2：在图(1)、图(2)中，观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗?如果有，最大值和最小值分别是什么?xyOab(1)(2)xyOabx1x2x3x4x5归纳总结一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.追问1：函数最值与极值有什么关系？因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得).Oxyaby=f(x)y=f(x)OxyabOxyaby=f(x)Oxyaby=f(x)追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？例1：解：xyO423例题x(0,2)2(2,3)f'(x)f(x)课本P93如果函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数f(x)在(a,b)内的极值；（2）求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b)；（3）将函数f(x)在各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．反思归纳解：练习课本P94解：课本P94解：课本P94解：课本P94除点(1,0)外，曲线C1：在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的下方.例题课本P94所以,当x=1时,f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–

+单调递减单调递增所以,

f(x)≥f(1)=0,即证明：将不等式转化为设,那么令,解得故当x>0时,课本P94反思归纳用导数证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的步骤(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)>0；(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；(3)若[f(x)－g(x)]′>0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数.只需保证F(a)>0；(4)若[f(x)－g(x)]′<0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数.只需保证F(b)>0.证明：练习xyOy=x-1y=lnx除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的上方.课本P94随堂检测解析：由f(x)>0得0<x<2，故A正确.f′(x)＝(2－x2)ex，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.4.已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－

相切.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在

上的最大值.令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数.于是当x>0时，f(x)>f(0)＝0，课堂小结1.求最大（小）值的方法只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函