5.2 余弦函数的图象与性质再认识课件高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

余弦函数的图象与性质再认识正弦函数的图象与性质正弦函数的图象正弦函数性质的再认识五点画图法温故知新看正弦函数图象说出正弦函数性质:①定义域：②值域：③奇偶性：④周期性：⑤对称轴：⑥对称中心：⑦单调性：⑧最大值与最小值：学习目标1.理解余弦函数图象的画法.（重点）2.借助图象理解余弦函数的性质.（重点、难点）3.学会熟练地画出一些较简单的余弦函数的图象.（重点）课文精讲余弦函数y=cosx的图象在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，···，2π列表(如表).xy=cosxyxo课文精讲余弦函数的图象由周期性可知，函数y=cosx在区间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cosx，x∈R的图象(如图).课文精讲余弦函数的图象余弦函数y=cosx，x∈R的图象称作余弦曲线.课文精讲五点作图法余弦函数y=cosx的图象（列表、描点、连线）xy=cosx课文精讲余弦函数的图象因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”.课文精讲余弦函数的图象由诱导公式cosx=sin(x+)可知，y=cosx的图象就是函数y=sin(x+)的图象.即余弦函数y=cosx的图象可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到(如图).课文精讲余弦函数的图象为了得到y=sinx和y=sin(x+)之间的平移量，通常只需理清函数y=sinx上的点(0，0)，平移到什么位置.因此，令x+=0，得到x=−，即点(0，0)平移到点(−

，0).这就说明正弦函数y=sinx图象上的所有点向左平移个单位长度，即可得到余弦函数y=cosx的图象.课文精讲余弦函数的图象(思考）你能利用函数y=sinx在[0，2π]的图象，通过图象变换得到y=1+sinx，x∈[0,2π]的图象吗?同样地，利用函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y=−cosx,x∈[0,2π]图象?课文精讲余弦函数的图象图象的平移变换（a＞0，b＞0）向右平移a个单位长度向上平移b个单位长度向下平移b个单位长度f（x）向左平移a个单位长度f（x）−bf（x）+bf（x+a）f（x−a）课文精讲余弦函数的图象图象的对称变换关于x轴对称f（x）−f（x）f（−x）关于y轴对称典型例题例1：画出函数y=cos(x−π)在一个周期上的图象.解：按五个关键点列表(如表).x−πxy=cos(x−π)yxo典型例题例1：画出函数y=cos(x−π)在一个周期上的图象.解法二：也可以利用诱导公式y=cos(x−π)=−cosx，画出y=−cosx的图象.课文精讲思考交流画出下列函数在区间上的图象：(1)y=2+cosx；(2)y=3cosx.解：(1)按五个关键点列表(如表).xy=2+cosxyxo课文精讲思考交流画出下列函数在区间上的图象：(1)y=2+cosx；(2)y=3cosx.解：(2)按五个关键点列表(如表).xy=3cosxyxo课文精讲余弦函数性质的再认识类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图得到余弦函数y=cosx在x∈R上的主要性质.课文精讲余弦函数性质的再认识2.周期性由于余弦函数y=cosx的图象是由正弦曲线y=sinx向左平移π/2个单位长度得到的.可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.因此，为了研究问题方便，通常选取区间[0，2π]讨论其性质，然后延拓到它的定义域R上.1.定义域余弦函数的定义域是R.课文精讲余弦函数性质的再认识3.单调性4.最大(小)值和值域课文精讲余弦函数性质的再认识5.奇偶性余弦曲线关于y轴对称(如图).由诱导公式cos(−x)=cosx可知，余弦函数是偶函数.典型例题例2：画出函数y=cosx−1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.xy=cosxy=cosx−1解：函数y=cosx−1的最小正周期是2π，按五个关键点列表(如表).yxo典型例题解：由函数y=cosx−1的图象得到它的主要性质(如表).例2：画出函数y=cosx−1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.函数y=cosx-1定义域R值域[−2，0]奇偶性偶函数周期性周期函数，周期是2π典型例题函数y=cosx−1单调性在每一个闭区间[(2k−1)π，2kπ]都单调递增；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]都单调递减最大值与最小值当x=2kπ，k∈Z时，最大值为0；当x=(2k+1)π，k∈Z时，最小值为−2课文精讲取值范围：思考交流请借助余弦函数y=cosx的图象，求满足不等式cosx≥的x的取值范围.综合练习已知函数y=2cosx定义域为[，π]，值域为[a，b]，则b-a=_____.综合练习函数的定义域是_______________本课小结余弦函数的图象与再认识余弦函数的图象余弦函数性质的再认识自主学习测评内容[例1]用“五点法”作出函数y=3+2cosx在一个周期内的图象.解:列表:描点得y=3+2cosx在一个周期内的图象(如图所示):xy=cosxy=3+2cosx变式训练1-1:作出函数在[-2π,2π]上的图象.方法总结类似正弦函数图象,作余弦函数图象时也用“五点法”作出其一个周期内的图象,再根据周期性进行延展.知识点2:余弦函数的性质

函数性质

y=cosx定义域R值域[-1,1]奇偶性偶函数周期性周期函数,最小正周期为2π

函数性质y=cosx单调性在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上都单调递减最大值与最小值当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1;当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1[思考]观察余弦曲线,你能发现余弦曲线的对称性吗?变式训练2-1:比较大小(填“>”“<”或“=”)