3.2.2 双曲线的简单性质（第一课时） 高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第一册)

第三章

圆锥曲线的方程3.2双曲线

3.2.2

双曲线的简单几何性质（第一课时）一二三学习目标了解并掌握双曲线的几何性质：对称性，范围，顶点，渐近线，离心率理解离心率的大小对双曲线开口大小的影响能利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程学习目标复习回顾焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系c2-a2=b2xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2新课导入

类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？范围、对称性、顶点、离心率利用双曲线方程并结合双曲线图像进行研究。

下面，我们利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质.新知探究

双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈Rxy-aaO追问

可以从代数角度给予说明吗？问题1

类比研究椭圆范围的方法，观察图中的双曲线，它有怎样的范围？新知探究xy-aaO从图形上看，双曲线关于x轴、y轴、原点对称.问题2

类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性？①P(x,y)

P1(x,-y)②P(x,y)

P2(-x,y)③P(x,y)

P3(-x,-y)新知探究问题3

类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点?F1F2Oxy••A1•A2•B1•B2•令y=0,得x=±a说明它与x轴有两个交点,坐标分别为A1(－a,0),A2(a,0).顶点：双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.线段A1A2叫实轴，长为2a，a叫实半轴长.令x=0,得y2=ￚb2说明它与y轴没有交点,但我们也把

这两点画在y轴上(如图).B1(0,-b),B2(0,b)线段B1B2叫虚轴，长为2b，b叫虚半轴长.新知探究利用信息技术画出双曲线

和两条直线.xyB2B2OF2F1A2A1

M新知探究yB2B2OF2F1A2A1问题5观察图像并回答：

这两条直线有何特征？新知探究双曲线的渐近线：

yB2B2OF2F1A2A1追问1

如何记忆双曲线的渐近线方程？追问2

渐近线对画出双曲线简图有什么指导意义？

画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。追问3

渐近线对双曲线的开口有什么影响?渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大.新知探究等轴双曲线yB2A1A2

B1

xOF2F1••yB2A1A2

B1

xOF2F1••新知探究离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比

称为双曲线的离心率.

e的范围：∵c>a>0∴e>1追问

双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?yB2B2OF2F1A2A1e越大，双曲线开口越大.等轴双曲线的离心率e=?新知探究问题6相应的，焦点在y轴上时双曲线的性质有哪些？图象范围对称性顶点渐近线离心率或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线关于坐标轴和原点都对称典例解析例3

求双曲线9y2–16x2=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.解：3-34-4xyO••F1(0,-5)F2(0,5)巩固练习课本P1261.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：巩固练习课本P1261.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：巩固练习课本P1261.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：巩固练习课本P1261.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：巩固练习课本P126解：巩固练习课本