反比例函数与实际问题复习专业教案(带答案)

教学目标学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．教学重点用反比例函数解决实际问题．教学难点构建反比例函数的数学模型．教学方法讲练结合教学过程教学环节教学内容课前复习利用反比例函数解决实际问题的一般步骤。知识梳理常见的与实际相关的反比例（1）面积一定时，矩形的长与宽成；（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的成反比例；（3）体积一定时，柱（锥）体的与高成反比例；（4）工作总量一定时，与工作时间成反比例；（5）总价一定时，与商品的件数成反比例；（6）溶质一定时，溶液的浓度与成反比例．典型例题例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；（2）求1000度近视眼镜镜片的焦距．【分析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=．（2）当y=1000时，1000=，解得=0.1m．例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？【分析】当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4000×12=48000（m3）．（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=；（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V==8000（m3）；（4）如果每小时排水量是5000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t==8000（m3）例3、制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【答案】（1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15（0≤x≤5），停止加热进行操作时的关系式为y=（x>5）；（2）20分钟．例4.在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．（1）写出I与R之间的函数解析式；（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？【分析】由物理学知识我们知道：当电压一定时，电流强度与电阻成反比例关系．解：（1）设，根据题目条件知，当I=6时，R=6，所以K=36，所以I与R的关系式为：I=．（2）电流不超过3A，即I=≥12，所以R≥3（Ω）．注意因为R>0，所以由≤12，可得R≥．例5.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于多少？【分析】在此题中，求出函数解析式是关键．解：设函数的解析式为P=，把点A（1.5，64）的坐标代入，得k=96，所以所求的解析式为P=；（2）V=0.8m3时，P==120（千帕）；（3）由题意P≤144（千帕），所以≤144，所以V≥=（m3）即气体的体积应不小于m3．巩固训练1．在一定的范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例．现已知当需求量为500吨时，市场供应量为10000吨，试求当市场供应量为16000吨时的需求量是．2．某电厂有5000吨电煤．（1）这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨）之间的函数关系是；（2）若平均每天用煤200吨，这批电煤能用是天；（3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用是天．提升能力3．一种电器的使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）成反比例，其关系如图所示．（1）求使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）之间的函数关系式是；（2）当t=5小时时，电器的使用寿命是．4．某人用50N的恒定压力用气筒给车胎打气．（1）打气所产生的压强P（帕）与受力面积S（米2）之间的函数关系是：．（2）若受力面积是100cm2，则产生的压强是；（3）你能根据这一知识解释：为什么刀刃越锋利，刀具就越好用吗？为什么坦克的轮子上安装又宽又长的履带呢？5．一封闭电路中，当电压是6V时，回答下列问题：（1）写出电路中的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式是；（2）画出该函数的图象．（3）如果一个用电器的电阻是5Ω，其最大允许通过的电流为1A，那么只把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧坏？试通过计算说明理由．6．如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子．（3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义．归纳总结常见的与实际相关的反比例（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例；（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；（3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例；（4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；（5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例；（6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例．课后作业一、选择题1.在双曲线上的点是（）A.(，)B.(，)C.(1，2)D.(，1）2．反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值是（）A. B. C.或 D.23．已知反比例函数的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（）A.m＞0 B.m＞ C.m＜0 D.m＜4.．若(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3.则下列各式正确的是（）A.y1＞y2＞y3B.y1＜y2＜y3C.y2＞y1＞y3D.y2＜y3＜y15．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系用图像来表示是。6．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。第7题图C：一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系。第7题图D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。7．如图，A、B、C为反比例函数图像上的三个点，分别从A、B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S38.已知点(1，a)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，其中a=m2+2m+5(m为实数)，则这个函数的图象在第_________象限.（）A.一 B.二 C.一、三 D.二、四9.（08襄樊市）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当时，气体的密度是（）A．5kg/m3 B．2kg/m3C．100kg/m3 D，1kg/m310.反比例函数（为常数，）的图象位于（）Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限Ｃ．第二、四角限 Ｄ．第三、四象限11.甲乙两地相距，汽车从甲地以（的速度开往乙地，所需时间是，则正确的是（）A.当为定植时，与成反比例B.当为定植时，与成反比例C.当为定植时，与成反比例D.以上三个均不正确12.下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）A.匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系B.体积一定时，物体的质量与密度的关系C.质量一定时，物体的体积与密度的关系D.长方形的长一定时，它的周长与宽的关系二、填空题13.近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25，则与的函数关系式为.14.如果点（在双曲线上，那么双曲线在象限.15.双曲线和一次函数的图象的两个交点分别为A（-1，-4），B（2，），则.第17题图16.A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B第17题图地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式是。17.在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是米．三、解答题18.一个面积为42的长方形，其相邻两边长分别为和，请你写出与之间的函数解析式，并画出其图象.19.如图，Rt△ABO的顶点A（a、b）是一次函数y=x+m的图像与反比例函数的图像在第一象限的交点，且S△ABO＝3。①根据这些条件你能够求出反比例函数的解析式吗？如果能够，请你求出来，如果不能，请说明理由。②你能够求出一次函数的函数关系式吗？如果能，请你求出来，如果不能，请你说明理由。20.小明在某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示：自变量x123412因变量y12.035.983.041.991.00请你根据表格回答下列问题：①这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？请你简要说明理由。②请你写出这个函数的解析式。③表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值。21.小刘驾车从A地到B地，每小时行驶75千米，刚好用了4小时，然后驾车返回.（1）返回时车速为（千米/小时）所用时间为（小时）.写出与之间的函数关系式；（2）如果因有紧急情况，小刘需在3小时内返回A地，那么，返回时车速至少是多少？22.在某一电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流=2安培时，（1）求与R之间的函数关系式（2）当电流=0.5安培时，求电阻R的值23.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价元与日销售量个之间有如下关系：（元）3456（个）20151210（1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（）的对应点（2）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与之间的函数关系式，若物价居规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？课堂拾趣数学中的转折点在古希腊，人们十分重视几何学的研究，开始是测量土地的需要．几何学这个名词在希腊文中就是“量地”的意思，后来发展成一门独立学科，被誉为“理智的财富”．当时一个人如果不懂得几何学，就不能认为是有学问的人．哲学家柏拉图甚至说：“上帝也常常以几何学家自居”．但是当时的希腊对代数学的研究却很忽视．然后我们中国，还有阿拉伯和印度则与此相反，代数学有了高度发展，几何学却不很重视．以上两种偏向都影响了数学的进步．到了17世纪，法国杰出的数学家笛卡儿分析了它们各自的缺陷后说：“我想应当去寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有它们特点的方法”．他真的找到了这种方法，就是代数学和几何学的统一──解析几何学，把形和数联系了起来．笛卡儿发现，代数方法和几何方法可以通过坐标系联系起来．他的基本思想是：平面上点的坐标观念和把带两个变数的任意代数方法看成平面上的一条曲线的观念．没有坐标系就没有解析几何，而坐标系的原始概念在古代航海、测量以至下棋中就产生了．另外，笛卡儿的坐标系统和方法当时并不是很完备的，后人又不断予以发展，才形成了今天的解析几何学．当然必须承认，笛卡儿所开创的解析几何方法，为解析几何学的建立和发展作出了巨大贡献．解析几何方法建立后，它立即发挥了巨大的作用，主要是使变量进入了数学，引起了数学的深刻革命．可以这样说，没有解析几何方法，微分法和积分法的建立是不可想象的，而这三门学科的发展，最后改变了整个数学的面貌．恩格斯指出，数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立即产生．笛卡儿，毫无疑问是世界上最伟大的数学家之一．答案：一、1.B，提示；将选项分别代入解析式正确的是B；2.A，提示：根据反比例函数定义得到，解得，由，故选A；3.D，提示：由当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，得到，故选D；4.D，提示：根据反比例函数的性质求得；5.D。,提示：因为y与x成反比例函数关