辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学（含答案）

辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年度上学期期中考试高一年级试题数学第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，集合，，则（）A、 B. C. D.2.不等式的解集是（）A. B. C. D.3.函数的定义域为，函数，则的定义域为（）A. B. C. D.4.使“”成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.5.命题：，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，6.已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数在闭区间上有最大值6，最小值2，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.10.已知关于的不等式的解集为，则（）A.函数有最大值B.C.D.的解集为11.已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.，使得对，恒成立D.若，则第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，则______.13.已知，，且，则______.14.函数，，若，使成立，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）设集合，.（1）若且，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.16.（15分）函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断并证明的单调性；17.（15分）（1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数，满足，求的最小值.”小萌认为：因为且，所以，所以的最小值是12.你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程。并说说从中你学到了什么？（应用不等式时要注意什么？）（2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知且，求的最小值.18.（17分）已知函数，满足.（1）求，值；（2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数的取值范围；（3）设当时，函数的最小值为，求的解析式.19.（17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”.（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：（3）证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集.辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年度上学期期中考试高一年级试题（答案）一、单项选择题1.C2.D3.D4.B5.B6.B7.D8.C二、多项选择题9.AB10.ABD11.BC三、填空题12.4713.1或14.四、解答题15题（1）因为，且，所以，解得，，综上所述，的取值范围为.（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：当时，，解得，，满足题意；当时，因为，所以，解得，或无解；综上所述，的取值范围为.16题（1）由题函数是定义在上的奇函数，所以，解得，又由，得，解得，所以，（2）在区间上为增函数.证明如下：设，则，由，得，即，，，所以，即，所以函数在上单调递增.17题（1）不正确.因为，所以.又，均为正数，所以，当且仅当，即时取等号.所以，当且仅当，即，时取等号.综上，的最小值为16.多次连用基本不等式后，一定要注意验证等号成立的条件（2）方法一：因为，所以所以.当且仅当且时，即，时取等号.综上，的最小值为.方法二：当且仅当，即时等号成立.18题（1）因为二次函数满足，则，解得.所以（2）若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，则在上恒成立，即在上恒成立，因为开口向上，对称轴为，可知在上单调递减，则，可得，所以实数的取值范围为.（3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，可知；综上所述：.19题（1）；（2）假设可以划分，∵，∴和一定是一个奇数一个偶数，∴，，，中至多两个偶数.则对于的一种符合要求的划分和，每个四元子集中均有两个偶数.若两个集合分别为和，则或49，不存在，使得符合要求：若两个集合分别为和，则或13，不存在，使得符合要求：若两个集合分别为和，则或25，不存在，使得符合要求；综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，（3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集