陕西省汉中市2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题 数学（含解析）

大市联考卷（三）数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知命题，，命题，，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题3.已知，为全集的非空真子集，且，不相等，若，则（）A. B. C. D.4.已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：男生82858687889090929496女生82848587878788889092则下列说法错误的是（）A.男生样本数据的分位数是86B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变6.已知是所在平面内一点，且，若，则（）A. B. C. D.7.已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为.则该正四棱锥体积是（）A. B. C. D.8.已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一、四象限的渐近线分别干，两点.当时.该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（）A.是数列的最小项 B.是数列的最大项C.是数列的最大项 D.当时，数列单调递减10.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为的直线与交于，两点.若直线经过点，则（）A. B.C. D.的取值范围是11.若函数，，则下列说法正确的是（）A.若，则函数的最大值为2B.若，则函数为奇函数C.存在，使得D.若，则，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则________.13.记为等比数列的前项和，若，，则________.14.以表示数集中最大（小）的数.设，，，已知，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）的内角，，所对的边分别为，，，，.（1）求角的大小；（2）为的重心，的延长线交于点，且，求的面积.16.（15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，其中，.是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值.17.（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点，.（1）求的标准方程；（2）证明：直线的斜率为定值，并求出该值.18.（17分）已知函数.（1）函数与的图象关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；（3）求证：，.19.（17分）有编号为的个空盒子（，），另有编号为的个球（，）将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个.记号球能放入号盒子的概率为.（1）求；（2）当时，求；（3）求.

大市联考卷（三）数学答案1.A[命题立意]本题考查复数代数形式的加法运算，复数的除法运算，共轭复数的概念及计算，意在考查数学运算等学科素养.[解题思路]，故选A.2.C[命题立意]本题考查判断全称量词命题的真假，判断存在量词命题的真假，全称量词命题的否定及其真假判断，存在量词命题的否定及其真假判断，意在考查逻辑推理等学科素养.[解题思路]对于命题，因为，所以，所以命题为真命题，为假命题；对于命题，当时，，，不成立，所以命题为假命题，为真命题.故选C.3.B[命题立意]本题考查判断两个集合的包含关系，交并补混合运算，利用Venn图求集合，意在考查数形结合等学科素养.[解题思路]因为，等价于，等价于，且，不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误；且，故B正确；据此作出韦恩图，可知，，故CD错误.故选B.4.D[命题立意]本题考查求在曲线上一点处的切线方程（斜率），基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，由奇偶性求参数，意在考查数学运算等学科素养.[解题思路]因为为奇函数，且定义域为，所以，即，所以，经检验符合题意，则，曲线在点处的切线斜率为，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选D.5.D[命题立意]本题考查计算几个数的中位数、平均数、极差、方差，总体百分位数的估计，意在考查数据分析等学科素养.[解题思路]，所以男生样本数据的分位数是86，故A正确；男生样本数据的中位数为，男生样本数据的众数为90，故B正确；女生样本数据的平均数为，女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为，故C正确；女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误.故选D.6.C[命题立意]本题考查平面向量的混合运算，利用平面向量基本定理求参数，意在考查转化与化归等学科素养.[解题思路]因为，所以，即，即，又，，不共线，所以所以.故选C.7.A[命题立意]本题考查球的体积的有关计算，多面体与球体内切外接问题，意在考查数形结合、直观想象等学科素养.[解题思路]设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，由体积为得，连接，平面，球心在上，，取的中点，连接，，设点在侧面上的投影为点，则点在上，且，，设球心到四棱锥顶点的距离为，所以，，解得，所以.故选A.8.A[命题立意]本题考查求直线交点坐标，已知双曲线的方程求双曲线的渐近线，求双曲线的离心率或离心率的取值范围，意在考查数形结合、转化与化归、数学运算等学科素养.[解题思路]如图，设双曲线在点处的切线为，切线与轴交于点，根据题意点在双曲线第一象限，由，得，所以，则在点的切线斜率为，所以在点的切线方程为，令，得，所以点，设点，，渐近线方程为，联立解得所以点，同理可得，又，，所以点是线段的中点，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选A.9.BCD[命题立意]本题考查判断数列的增减性，确定数列中的最大（小）项，意在考查数学运算等学科素养.[解题思路]设第项为的最大项，则即所以又，所以或，故数列中与均为最大项，且，当时，数列单调递减，故BCD正确；当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且，所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误.故选BCD.10.ABD[命题立意]本题考查抛物线中的参数范围问题，直线与抛物线交点相关问题，根据韦达定理求参数，意在考查数形结合、数学运算等学科素养.[解题思路]因为抛物线的焦点为，且直线经过点，所以，则，解得：，故A正确；所以抛物线方程为：，则，设过点作斜率为的直线的方程为：，联立消去可得：，显然，，解得或，故C错误；由韦达定理可得：，，故B正确；因为，，所以，令，则，则，所以的取值范围是，故D正确.故选ABD.11.ACD[命题立意]本题考查已知求解析式，函数奇偶性的定义与判断，求含（型）函数的值域和最值，三角恒等变换的化简问题.意在考查转化与化归、知识迁移与创新应用等学科素养.[解题思路]因为，可知的定义域为，当时，，可得，，当且仅当时，等号成立，所以函数的最大值为2，故A正确；当时，则，令，则，可得，所以函数不为奇函数，故B错误；当时，，则，，且对任意，，所以，故C正确；因为，若，可得，，则，，解得，，故D正确.故选ACD.12.[命题立意]本题考查三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系，用和、差角的正弦公式化简、求值，意在考查数学运算等学科素养.[解题思路]由，得解得，，所以.[答案]13.[命题立意]本题考查等比数列通项公式的基本量计算，等比数列的性质及应用，求等比数列前项和，意在考查数学运算等学科素养.[解题思路]因为，所以，又因为，所以，，从而，又，所以，所以.[答案]14.[命题立意]本题考查基本不等式求和的最小值，意在考查逻辑推理、转化与化归等学科素养.[解题思路]由，得，设，则，，，由，当且仅当时，取等号，所以.[答案]15.[命题立意]本题考查二倍角的正弦公式，正弦定理边角互化的应用，三角形面积公式及其应用，余弦定理解三角形，意在考查数形结合、数学运算等学科素养.[解]（1）在中，因为，由正弦定理可得，，，即，所以，，，故，即.（2）因为为的重心，的延长线交于点，且，所以点为中点，且，在中，，，即，在和中，，化简得，所以，故，所以的面积为.16.[命题立意]本题考查证明线面平行，面面角的向量求法，意在考查数形结合、直观想象、逻辑推理等学科素养.[解]（1）证明：取的中点，连接，，由是的中点，得，且，由是的中点，得，且，则有，，四边形是平行四边形，于是，又平面，平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，则直线，，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，有，，，，，，则有，，，设平面与平面的法向量分别为，，则有令，得，令，得，因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.17.[命题立意]本题考查根据，，求椭圆标准方程，椭圆中的直线过定点问题，意在考查数形结合、数学运算等学科素养.[解]（1）设，，且，因为，，又，所以，解得，又点在上，所以①，又②，联立①②，解得，，所以的标准方程为.（2）设直线的方程为，直线的方程为，由消得到，所以，得到，所以，同理可得，，所以为定值，即直线的斜率为定值，定值为.18.[命题立意]本题考查函数对称性的应用，利用导数证明不等式，利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查数学运算、转化与化归、逻辑推理等学科素养.[解]（1）依题意，设图象上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图象上，则，则，，故，.（2）令，，则在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）证明：由（2）可知：，则，即，则.又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，得证.19.[命题立意]本题考查计算古典概型问题的概率，利用全概率公式求概率，意在考查知识迁移与创新应用、逻辑推理、转化与化归等学科素养.[解]（1）1号球放入1号盒中的概率为，此时2，3号球分别放入2，3号盒中；1号球放入2号盒中的概率为，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为，1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中.综上所述，.（2）1号球放入1号，4号，5号，…，号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中；1号球放入2号盒中的概率为，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，…，号盒中，概率为，1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中；综上所述，.（3）1号球